Бросаем кубик

[Побережный Александр]

gris в сообщении #760661 писал(а):

Две шестёрки и нешестёрка гораздо вероятнее нешестёрки после двух шестёрок

Уважаемый gris, я строго использовал формулу Бернулли, а в формуле используется именно сочетания, но не размещения. Другими словам порядок выпадения двух "шестерок" и одной "НЕшестерки" на вероятность их выпадения не влияет. Все эти комбинации имеют одинаковую вероятность появления.

[gris]

Побережный Александр в сообщении #760648 писал(а):

Другими словами, после выпадения двух "шестерок"(обязательное условие) в третьем броске "шестерка" появится с вероятностью $\frac1{16}$, а вероятность появления в третьем броске "НЕшестерки" равна $\frac{15}{16}$.

Вы же пишете об обязательном соблюдении порядка выпадения, а применяете формулу Бернулли. Буквально сообщение назад Lukum правильно написал, что он написал.

[Побережный Александр]

mihailm в сообщении #760668 писал(а):

Подсчитайте эту вероятность, потом проведите эксперимент. Я не большой знаток статистики, но пары сотен испытаний кажись хватит.

Я решил проверить на практике свои расчеты. За основу взял вариант, предложенный mihailm.

Постановка задачи: какая вероятность выпадения орла и решки при третьем броске, если первые два броска монеты показали два орла.

Как проводить опыт.
Самый правильный вариант следующий (на мой взгляд): сто человек одновременно три раза бросают монету. Результаты людей, в которых два первых броска не завершились двумя орлами просто игнорируются. Оставшиеся пересчитываются и определяют количество, где третий бросок завершился решкой (например).
Так как у меня нет ста человек для эксперимента, рассматривается следующий метод.
Монета бросается триста раз и результаты записываются в одну строчку. Далее вся строчка делится по три значения.
Если в тройке значений первые два не орлы, то вся тройка игнорируется. Оставшиеся тройки пересчитываются и определяется доля тех, которые заканчиваются решкой (например).

Мои расчеты в эксперименте.
Вероятность выпадения подряд трех орлов равна $\frac18$
Вероятность выпадения сначала двух орлов, а третьей выпадет решка следующая:
$C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$
Так как всего два исхода, то их вероятности соотносятся 1 к 3
Другими словами, вероятность выпадения после первых двух орлов третьего орла равна $0,25$.
Вероятность выпадения решки после первых двух орлов равна $0,75$.

Уважаемые форумники, насколько я корректно описал проведение эксперимента?

[Aritaborian]

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Постановка задачи: какая вероятность выпадения орла и решки при третьем броске, если первые два броска монеты показали два орла.

Дальнейшее я не читал из принципа. Если ваша монета представляет собой симметричный металлический диск, а не продукт высоких технологий, запоминающий результаты предыдущих бросаний и на основе этого корректирующий своё поведение в полёте, то вероятности выпадения орла и решки равны между собой и равны одной второй. Прошу прощения, если я жесточайше туплю и не понимаю, чего вы хотите, но, ИМХО, как-то иначе понять выше процитированную мной вашу фразу невозможно.

[Shadow]

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Вероятность выпадения сначала двух орлов, а третьей выпадет решка следующая:
$C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$

Можете выписать явно тех трех вариантов?

(Оффтоп)

Долго продержалась тема в "олимпиадных".

[Lukum]

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Постановка задачи: какая вероятность выпадения орла и решки при третьем броске, если первые два броска монеты показали два орла.

Неважно как выпали монеты при 1-ом и 2-ом броске, вероятность выпадения орла/решки постоянна всегда и равна $\frac12$.

(Вероятность выпадения орла при 1-м броске) = 
(Вероятность выпадения орла при 2-м броске) = 
... = 
(Вероятность выпадения орла при N-м броске)= 0.5

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Самый правильный вариант следующий (на мой взгляд): сто человек одновременно три раза бросают монету.

Можно явно выписать все комбинации и вручную пересчитать.
Еще вариант промоделировать в Excel с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ().

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Вероятность выпадения подряд трех орлов равна $\frac18$
Вероятность выпадения сначала двух орлов, а третьей выпадет решка следующая:
$C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$
Так как всего два исхода, то их вероятности соотносятся 1 к 3
Другими словами, вероятность выпадения после первых двух орлов третьего орла равна $0,25$.
Вероятность выпадения решки после первых двух орлов равна $0,75$.

Уважаемые форумники, насколько я корректно описал проведение эксперимента?

Вероятность выпадения подряд трех орлов равна $\frac18$
Вероятность выпадения сначала двух орлов, а третьей выпадет решка следующая:
$(\frac12)(\frac12)(\frac12)=\frac18$

Другими словами, вероятность выпадения после первых двух орлов третьего орла равна $(\frac12)$.
Вероятность выпадения решки после первых двух орлов равна $(\frac12)$.

[Cash]

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Монета бросается триста раз и результаты записываются в одну строчку. Далее вся строчка делится по три значения.
Если в тройке значений первые два не орлы, то вся тройка игнорируется. Оставшиеся тройки пересчитываются и определяется доля тех, которые заканчиваются решкой (например)

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Уважаемые форумники, насколько я корректно описал проведение эксперимента?

Если бросить монетку 300 раз, т.е. получить 100 троек, из которых останется около 25. Маловато, конечно. Увеличьте количество бросков (ну хотя бы в 3-5 раз) и все будет отлично...
Но проведите же наконец хоть что-то, хотя бы и с 300 бросками

[Lukum]

Вот все комбинации орел 1, решка 0 для трех бросков:
1. 000
2. 001
3. 010
4. 011
5. 100
6. 101
7. 110
8. 111
Вручную можно все посчитать.

-- 06.09.2013, 12:51 --

Побережный Александр в сообщении #760992 писал(а):

Вероятность выпадения сначала двух орлов, а третьей выпадет решка следующая:
$C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$

Эта формула у вас описывает все тройки, которые содержат ровно 2 орла и одну решку в люббом порядке, а именно вот эти 3 тройки:
4. 011
6. 101
7. 110
Т.е. вы неправильно интерпретировали формулу.

[Побережный Александр]

Может я неправильно излагаю свою мысль?...
Попробую повторить. Рассматриваются испытания Бернулли. Проводится серия независимых опытов, каждый из которых может принимать два значения: для монеты "орел" или "решка", для кубика "двойка" и "недвойка".
Могу же я посчитать вероятность того, что при ста бросках монеты выпадет ровно $50$ орлов и $50$ решек? Могу же я посчитать вероятность того, что при ста бросках выпадет $99$ орлов и $1$ орешек? Могу же я посчитать вероятность, что при трех бросках выпадет $2$ орла и $1$ орешек?
Раз это испытания Бернулли, то и применяется формула Бернулли.
А сам эксперимент сейчас непосредственно не могу проводить, так как на работе. ))
Но хоть подтвердили, что таким образом можно поэкспериментировать.

[Lukum]

Побережный Александр в сообщении #761022 писал(а):

Могу же я посчитать вероятность, что при трех бросках выпадет $2$ орла и $1$ орешек?

Да, можете.
"вероятность, что при трех бросках выпадет $2$ орла и $1$ орешек" = $\frac38$
но вероятность, что первый раз будет орел, второй раз будет орел, а третий раз будет решка
$(\frac12)(\frac12)(\frac12)$ = $\frac18$
это как раз комбинация: "7. 110" и она одна из восьми возможных т.е.вероятность =$\frac18$
ps
ошибка в том, что вы некорректно переходите от слов к формуле, от формулы к словам.

-- 06.09.2013, 13:33 --

Количество троек (результатов трех бросков), которые содержат ровно 2 орла и одну решку в любом порядке =3 шт.
Вот они:
4. 011
6. 101
7. 110

Количество троек (результатов трех бросков), которые содержат на первом месте орел, на втором месте орел, на третьем месте решка =1шт.
Вот она: 7. 110

[GAA]

Побережный Александр, строгое предупреждение за создание в «Олимпиадном разделе» темы без четкой формулировки задачи в начальном сообщении. Тема на время перенесена в «ПРР (М)». Дальше — в зависимости от обсуждения.

[provincialka]

Наш уважаемый автор может гордиться, что он является единомышленником такого знаменитого писателя, как Эдгар По. В конце рассказа "Тайна Мари Роже" этот , обычно разумный, писатель пишет:

Цитата:

Например, обычного читателя почти невозможно убедить, что при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму. Заурядный интеллект не может этого воспринять, он не может усмотреть, каким образом два броска, принадлежащие уже прошлому, могут повлиять на бросок, существующий еще пока только в будущем. Возможность выпадения шестерки кажется точно такой же, как и в любом случае – то есть зависящей только от того, как именно будет брошена кость. И это представляется настолько очевидным, что всякое возражение обычно встречается насмешливой улыбкой, а отнюдь не выслушивается с почтительным вниманием. Суть скрытой тут ошибки – грубейшей ошибки – я не могу объяснить в пределах места, предоставленного мне здесь, а людям, искушенным в философии, никакого объяснения и не потребуется. Тут достаточно будет сказать, что она принадлежит к бесконечному ряду ошибок, которые возникают на пути Разума из-за его склонности искать истины в частностях.

Мне всегда было интересно, почему По такое написал? Может, он хотел мистифицировать читателя, посмеяться над ним? Ведь, насколько я знаю, он интересовался математикой... Самое странное, что он приписывает обычному читателю разумность математика, а математикам - опрометчивость неспециалистов.

[Побережный Александр]

provincialka в сообщении #761116 писал(а):

Наш уважаемый автор может гордиться, что он является единомышленником такого знаменитого писателя, как Эдгар По.

Спасибо, приятное замечание.

Cash в сообщении #761019 писал(а):

Но проведите же наконец хоть что-то, хотя бы и с 300 бросками

Наконец я провел свой эксперимент и убедился, что при описанном способе проведения эксперимента вероятности выпадения трех "орлов" и двух "орлов с "решкой будут одинаковы.

Но все же хочу продолжить рассуждения.
Похоже, я некорректно сформулировал свою цель. Попробую снова описать задачу.
Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ не изменится.
Соответственно, в двух бросках выпало два "орла".
Значит вероятность двух "орлов" в трех бросках равна $C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$.
Аналогично вычисляем вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится.
Вероятность трех "орлов" в трех бросках равна $\frac18$.
Вероятности этих событий относятся как 3 к 1.
Следовательно, вероятность того, что количество событий k не изменится (в нашем случае два "орла") равно 0,75.
Я пытался строго следовать логике. Если что-то не удалось, подскажите где именно.

[ИСН]

Вы не учитываете, что конфигурация "два из трёх" может вырасти не только из конфигурации "два из двух", но и из такой - "один из двух".

[Lukum]

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

Рассматриваются испытания Бернулли. За $n$ испытаний произошло $k$ событий $A$. Найти вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ не изменится.

$P(A)=p $
$k$ событий уже произошли
в " $n+1$ испытании количество событий $k$ не изменится" тогда и только тогда, когда в $n+1$ испытании событие $A$ не произойдет, а вероятность того, что событие $A$ не произойдет $=1-p$

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

Соответственно, в двух бросках выпало два "орла".
Значит вероятность двух "орлов" в трех бросках равна $C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$.

"вероятность двух "орлов" в трех бросках равна $C^2_3(\frac12)^2(\frac12)=\frac38$" - это верно.
Но первое предложение не имеет логической взаимосвязи со вторым.

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

Аналогично вычисляем вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится.

"вероятность того, что при $n+1$ испытании количество событий $k$ изменится" = $P(A)=p$

Побережный Александр в сообщении #761252 писал(а):

1. Вероятность трех "орлов" в трех бросках равна $\frac18$.
2. Вероятности этих событий относятся как 3 к 1.
3. Следовательно, вероятность того, что количество событий k не изменится (в нашем случае два "орла") равно 0,75.
4. Я пытался строго следовать логике. Если что-то не удалось, подскажите где именно.

Нумерация предложений моя.
1. да
2. нет
3. нет
4. нет

-- 07.09.2013, 10:19 --

Не следует сразу браться за Бернулли, для начала можно потренероваться на "кошечках", т.е. на трех бросках и монетке.