Помогите найти сумму

[Joe Black]

Помогите пожалуйста найти сумму: $ \left( n-2 \right)^2 + \left( n-4 \right)^2 + \left( n-6 \right)^2 +... $
всего $ n-2 $ слагаемых

[Dan B-Yallay]

Выпишите сумму в обратном порядке.

[Joe Black]

Для чётных $n$ сумма будет:

$ 2^2 + 4^2 + 6^2+ ....$

Для нечётных:

$ 1 + 3^2 + 5^2 + ....$

[Dan B-Yallay]

Замечательно!! Теперь вопрос на засыпку: для четных сумму найти сможете?

(Подсказка:)

$$2=2\cdot 1, \ 4=2\cdot 2 , \ 6=2\cdot ...$$

[Joe Black]

Если вынести $2^2$ то получим:
$1+2^2+3^2+4^2+...$

[Dan B-Yallay]

Еще лучше. Теперь смотрим тождества (доказанные еще в школе)
[url]en.wikipedia.org/wiki/Summation#Some_summations_of_polynomial_expressions[/url]

[Joe Black]

Демидович говорит что это будет:

$1^2+2^2+3^2+....+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

[Dan B-Yallay]

Учение Демидовича всесильно, потому что оно верно!

Умножим на 4 и получаем сумму четных. Не так ли?

Чтобы получить сумму нечетных - суммируем ВСЕ ПОДРЯД и отнимаем...

[Joe Black]

Сумму чётных

[Dan B-Yallay]

Побольше бы таких студентов.

[Joe Black]

))

-- 05.09.2013, 21:47 --

Последний вопрос по этой теме:

Если суммируем чётные, то получаем: $ 4\frac{\frac{n}{2} \left( \frac{n}{2}+1\right) \left(n+1\right)}{6}$

?

[Dan B-Yallay]

У Вас же $n-2$ слагаемых?

$$\begin{align} 2^2+4^2+6^2 + \ldots + (n-2)^2 & = 2^2\left(1^2+2^2+3^2 \ldots + \Big(\dfrac{n-2}{2}\Big)^2\right)\\ &=4\cdot \dfrac{\frac{n-2}{2}\Big(\frac{n-2}{2}+1\Big)\Big(... \Big) }{6} ... \end{align}$$

Как то так если не вру.

[Joe Black]

Ок, понял

[Dan B-Yallay]

Нет, Так быть не может. Если отнимать по 2, то слагаемых должно быть $n/2$ так что у Вас все верно.

[Joe Black]

Слагаемых $n-2$