Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика

[myhand]

Lvov в сообщении #759492 писал(а):

Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.

Вы про калибровочную инвариантность слышали? Если не слышали - откройте школьный учебник, там детям рассказывают что физические эффекты от абсолютного значения потенциала зависеть не могут. Только от разности.

[Helium]

Lvov в сообщении #759492 писал(а):

Helium в сообщении #759457 писал(а):

Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию.

Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.
С уважением О.Львов

Я объяснил как в зависимости от нормировки потенциальной энергии одна задача превращается в другую. Можем граничные условия делать по вашему. Опять тот же пример потенциальная яма с глубиной 0 а.е. и высотой стенок 10а.е. радиус 5 а.е. Как видите решение не изменилось частица в нижнем основном состоянии. Я могу поднять стенки сколько угодно все равно решение не изменится.

[Helium]

Lvov в сообщении #741877 писал(а):

Судя по литературе, "парадокс Клейна" заключается в том, что определенное решение уравнения Дирака, описывающее прохождение электронной волны сквозь высокий заграждающий потенциальный барьер $U>2m$, показывает, что при некоторой умеренной энергии частицы коэффициент ее прохождения равен 1, а коэффициент отражения равен 0. Это более "круто", чем те явления, о которых я говорил в своих сообщениях.
Я не рассчитывал коэффициент прохождения волны Клейна-Гордона через высокий заграждающий барьер, и поэтому говорил о недостаточно точном моем изложении вопроса. Однако легко показать, что и в случае УКГ при заграждающем барьере $U>2m$ существует такая умеренная энергия частицы $E$ и соответствующий импульс $p$, при которых коэффициент прохождения частицы будет равен 1. И обратно, для любого умеренного значения импульса частицы ($p << m$), существует энергия заграждающего барьера $U>2m$, при которой коэффициент прохождения частицы сквозь барьер равен единице.

Я понял какой эффект Вы хотели наблюдать. Поскольку волновая функция немного просачивается через барьер практически любой высоты то хотите посмотреть что будет в случае высоты стенок ямы выше $E=2m{c}^{2}$.
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

[Lvov]

Helium в сообщении #759527 писал(а):

Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

Г.Helium, Правильно ли я понимаю Ваши графики?
1. Все решения Вы приводите для сферической ямы.
2. На предпоследнем графике мы наблюдаем частицу, локализованную в потенциальной яме ($R=1$).
3. На последнем графике мы наблюдаем свободно распространяющуюся за пределами ямы сферическую волну, в то время как в центре ямы ее уровень снижается до нулевого значения.

С уважением О.Львов

[Helium]

Lvov в сообщении #759979 писал(а):

Helium в сообщении #759527 писал(а):

Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

Г.Helium, Правильно ли я понимаю Ваши графики?
1. Все решения Вы приводите для сферической ямы.
2. На предпоследнем графике мы наблюдаем частицу, локализованную в потенциальной яме ($R=1$).
3. На последнем графике мы наблюдаем свободно распространяющуюся за пределами ямы сферическую волну, в то время как в центре ямы ее уровень снижается до нулевого значения.

С уважением О.Львов

Да все правильно. Только добавлю что радиус ямы не играет особой роли и для ямы с радиусои 5 а.е. такая же картина просто волна имеет меньшую частоту. Еще проверил уравнение Шредингера. Оно не дает этого эффекта частица остается в яме на нижнем уровне даже при высоте стенок $E=4m{c}^{2}$

[Lvov]

myhand в сообщении #759494 писал(а):

Вы про калибровочную инвариантность слышали? Если не слышали - откройте школьный учебник, там детям рассказывают что физические эффекты от абсолютного значения потенциала зависеть не могут. Только от разности.

Г.myhand, в релятивистской квантовой механике это не так. Частота осцилляции снижается на дне потенциальной ямы по сравнению с ее значением на дне потенциального ящика, где она отвечает частоте осцилляции свободной движущейся частицы. В первом случае эта частота меньше $mc^2/\hbar$ (это частота осцилляции свободной покоящейся частицы), во втором случае - больше указанного значения.

[myhand]

Lvov в сообщении #759985 писал(а):

Г.myhand, в релятивистской квантовой механике это не так.

В релятивистской квантовой механике - тоже никто калибровочную инвариантность не отменил, совсем наоборот.

[Lvov]

myhand в сообщении #760417 писал(а):

В релятивистской квантовой механике - тоже никто калибровочную инвариантность не отменил, совсем наоборот.

Г.myhand, давайте говорить конкретнее. В предыдущем сообщении я показал, что в потенциальной яме энергия частицы меньше, чем в потенциальном ящике.
Так какие же показатели частицы сохраняются в результате калибровочной инвариантности при переходе от потенциальной ямы к потенциальному ящику той же энергетической глубины?

[Helium]

Theoristos в сообщении #741522 писал(а):

Helium: ваша позиция неконструктивна. Покажите решение, желательно аналитическое, расскажите как именно оно получилось. Или дайте ссылки на работы где такое подробно разбирается, а не только декларируется.

Добавлю, что численные решения, особенно в цилиндрических-сферических, координатах надо внимательно проверять. При решении некорректоно поставленных задач могут вылезти артефакты связанные, например, с "очевидным" обрезанием решения областью R>0.

Вот аналитическое решение. Радиальная часть волновой функции в атомных единицах Хартри.

$R\left(r \right)= \frac{1}{r}{k}_{1}\exp\left(-\frac{r\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{E} \right){\left(Er+1 \right)}^{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+\frac{1}{2}}\bullet $
$\bullet HypergeometricU\left(\frac{\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1\right){E}^{4}-{c}^{4}\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1\right){E}^{2}+2{c}^{4}\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{2{E}^{2}\left({E}^{2}-{c}^{4} \right)},\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1,\frac{2\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}\left(Er+1 \right)}{{E}^{2}} \right)$