Радикал мономиального идеала мономиален?

[DLL]

Рассмотрим мономиальный идеал $I$ (т.е. идеал в кольце полиномов, порожденный конечным числом мономов).
Как доказать, что радикал этого идеала мономиален?

Пусть $I=<m_1,m_2,...,m_n>$.
В соответствие каждому моному $m_i$ поставим моном $M_i$, который состоит из тех же переменных но в первой степени.
Легко показать, что $M_i \in \sqrt I$.
Есть подозрение, что $\sqrt I = <M_1, M_2, ..., M_n>$. Но не знаю как доказать!

[DLL]

Похоже доказал. При доказательстве использовал тот факт, что:
1. Если полином принадлежит мономиальному идеалу $I$, то каждый его член также принадлежит мономиальному идеалу $I$.

Выберем некоторое мономиальное упорядочение. Пусть $f = a_1 f_1 + a_2 f_2 + ... + a_n f_n \in \sqrt I$, тогда $f^m \in I$, где $f_1, f_2, ..., f_n$ - мономы записанные в соответствие с упорядочением, т.е. $f_1$ - старший моном.

При возведение в $m$ степень старшим мономом станет $f_1^m$, который в силу 1. принадлежит идеалу $I$, а значит делится на некоторый моном $m_k$, т.е. $f_1$ делится на $M_k$ и следовательно принадлежит $\sqrt I$. Отсюда, $f - a_1 f_1$ принадлежит $\sqrt I$. Продолжая процесс, в конце концов получаем искомое.