Похоже доказал. При доказательстве использовал тот факт, что:
1. Если полином принадлежит мономиальному идеалу
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
, то каждый его член также принадлежит мономиальному идеалу
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
.
Выберем некоторое мономиальное упорядочение. Пусть
![$f = a_1 f_1 + a_2 f_2 + ... + a_n f_n \in \sqrt I$ $f = a_1 f_1 + a_2 f_2 + ... + a_n f_n \in \sqrt I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/1/271677fef34f711b0859c2c8d0e63ff782.png)
, тогда
![$f^m \in I$ $f^m \in I$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/8/4d813212244a972c7d27143a49df40bb82.png)
, где
![$f_1, f_2, ..., f_n$ $f_1, f_2, ..., f_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/4/1f4715fdb721173d45077a1854963a6182.png)
- мономы записанные в соответствие с упорядочением, т.е.
![$f_1$ $f_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/5872d29d239f95cc7a5f43cfdd14fdae82.png)
- старший моном.
При возведение в
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
степень старшим мономом станет
![$f_1^m$ $f_1^m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/0/440f8de4ac30e987351c15e57da5cbe682.png)
, который в силу
1. принадлежит идеалу
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
, а значит делится на некоторый моном
![$m_k$ $m_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/4/8249cb78ba370605835603be00f4a35682.png)
, т.е.
![$f_1$ $f_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/5872d29d239f95cc7a5f43cfdd14fdae82.png)
делится на
![$M_k$ $M_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/f/7dff342f99b7bfbf6b5752d15ef9ffa282.png)
и следовательно принадлежит
![$\sqrt I$ $\sqrt I$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/a/fba0e2a271cee5e41812a5c78787192282.png)
. Отсюда,
![$f - a_1 f_1$ $f - a_1 f_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/9/1791b4038b974db35958b5fb710ab12e82.png)
принадлежит
![$\sqrt I$ $\sqrt I$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/a/fba0e2a271cee5e41812a5c78787192282.png)
. Продолжая процесс, в конце концов получаем искомое.