Одна задача по комплексному анализу

[Oleg Zubelevich]

уравнение $f^n+g^n=1,\quad n\ge 3$ можно обрабатывать по другой теореме Пикара. Запишем это уравнение в виде
$1+(g/f)^n=1/f^n$ Правая часть не обращается в 0, следовательно мероморфная функция $g/f$ не может принимать ни одно из значений $\sqrt[n]{-1}$. Следовательно $g/f=const$

-- Ср авг 28, 2013 16:59:03 --

по теореме Пикара мероморфная функция принимает в $\overline {\mathbb{C}}$ все значения за исключением м.б. двух

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #758448 писал(а):

уравнение $f^n+g^n=1,\quad n\ge 3$ можно обрабатывать по другой теореме Пикара. Запишем это уравнение в виде
$1+(g/f)^n=1/f^n$ Правая часть не обращается в 0, следовательно мероморфная функция $g/f$ не может принимать ни одно из значений $\sqrt[n]{-1}$. Следовательно $g/f=const$

Согласен.

[sergei1961]

Красиво! И чётко видно, почему при $n=2$ противоречия нет, квадратный корень, два значения..

[nnosipov]

Настолько красиво, что так и тянет обобщить на мероморфные функции. Но потом вспоминаешь про эллиптические функции Вейерштрасса.

[g______d]

Меня тянет обобщить на произвольный полином от двух переменных. Наверняка ответ как-то выражается в терминах соответствующей алгебраической кривой.

[sergei1961]

Вариант для полинома

$$ \sum a_k x^k y^{n-k} $$

с подстановкой $x\to f(z)$, $y\to g(z)$ в книге Маркушевича тоже есть. Там всё аналогично, без кривых. Хотя было бы очень интересно.

У меня есть одна задача на целые функции, которой давно мучаюсь. Задать здесь или сделать новую тему?

[Deggial]

sergei1961 в сообщении #758564 писал(а):

У меня есть одна задача на целые функции, которой давно мучаюсь. Задать здесь или сделать новую тему?

Делайте новую. Если хотите связать с этой темой - оставьте в новой теме ссылку на старую тему с нужной Вам припиской.