2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 16:57 
уравнение $f^n+g^n=1,\quad n\ge 3$ можно обрабатывать по другой теореме Пикара. Запишем это уравнение в виде
$1+(g/f)^n=1/f^n$ Правая часть не обращается в 0, следовательно мероморфная функция $g/f$ не может принимать ни одно из значений $\sqrt[n]{-1}$. Следовательно $g/f=const$

-- Ср авг 28, 2013 16:59:03 --

по теореме Пикара мероморфная функция принимает в $\overline {\mathbb{C}}$ все значения за исключением м.б. двух

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 17:06 
Oleg Zubelevich в сообщении #758448 писал(а):
уравнение $f^n+g^n=1,\quad n\ge 3$ можно обрабатывать по другой теореме Пикара. Запишем это уравнение в виде
$1+(g/f)^n=1/f^n$ Правая часть не обращается в 0, следовательно мероморфная функция $g/f$ не может принимать ни одно из значений $\sqrt[n]{-1}$. Следовательно $g/f=const$
Согласен.

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 18:18 
Красиво! И чётко видно, почему при $n=2$ противоречия нет, квадратный корень, два значения..

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 19:05 
Настолько красиво, что так и тянет обобщить на мероморфные функции. Но потом вспоминаешь про эллиптические функции Вейерштрасса.

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 20:38 
Аватара пользователя
Меня тянет обобщить на произвольный полином от двух переменных. Наверняка ответ как-то выражается в терминах соответствующей алгебраической кривой.

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение28.08.2013, 21:44 
Вариант для полинома
$$
\sum a_k x^k y^{n-k}
$$
с подстановкой $x\to f(z)$, $y\to g(z)$ в книге Маркушевича тоже есть. Там всё аналогично, без кривых. Хотя было бы очень интересно.

У меня есть одна задача на целые функции, которой давно мучаюсь. Задать здесь или сделать новую тему?

 
 
 
 Re: Одна задача по комплексному анализу
Сообщение29.08.2013, 16:33 
Аватара пользователя
sergei1961 в сообщении #758564 писал(а):
У меня есть одна задача на целые функции, которой давно мучаюсь. Задать здесь или сделать новую тему?
Делайте новую. Если хотите связать с этой темой - оставьте в новой теме ссылку на старую тему с нужной Вам припиской.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group