Окружность на сфере( сферическая СК )

[snake32]

Доброго времени.
Есть ли параметрическая формула окружности на единичной сфере?

В двухмерной декартовой СК окружность радиуса $R$ и с центром в точке $C(cx, cy)$ можно представить в параметрическом виде, где $t$ - параметр с помощью которого можно вычислить координаты любой точки $P(px, py)$ лежищей на этой окружности.
$ \begin{cases} p_x = R\cdot\sin(t) + c_x\\ p_y = R\cdot\cos(t) + c_y \end{cases} $
Существует ли подобная формула для сферической СК?
Нужно что-то типа:
$ \begin{cases} p_{lon} = F_{lon}( R, t, c_{lon})\\ p_{lat} = F_{lat}( R, t, c_{lat}) \end{cases} $
PS:
Преобразовывать в 3д декартову СК, потом вычислять матрицу поворота, затем вращать и далее обратно в сферическую СК не хотелось бы. Ибо очень долго это. Хочется иметь поворот именно в сферической СК. Есть надежда что такая формула будет быстрее. Надеюсь что местые гуру знают её, или хотя бы помогут вывести её.

[ИСН]

Ну Вы же можете выразить полярные углы через эти $x$ и $y$?

-- менее минуты назад --

и $z$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

snake32, наберите все формулы $\TeX$ом, в том числе и те, которые Вы оформили тегом code. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[snake32]

snake32 в сообщении #757946 писал(а):

Преобразовывать в 3д декартову СК, потом вычислять матрицу поворота, затем вращать и далее обратно в сферическую СК не хотелось бы. Ибо очень долго это. Хочется иметь поворот именно в сферической СК. Есть надежда что такая формула будет быстрее. Надеюсь что местые гуру знают её, или хотя бы помогут вывести её.

[ИСН]

Формула, которую Вы забраковали с мотивацией "очень долго" (а там и впрямь не очень-то красиво) - она такова, какова есть. Любая другая будет либо такая же, либо неправильная. Вы что предпочитаете?

-- менее минуты назад --

Нет, ну или так:
$ \begin{cases} \rho = const\\ \theta = const \\ \varphi \text{ меняется от }0\text{ до }2\pi\\ \end{cases} $
Нравится? Нет? Почему?

[snake32]

ИСН в сообщении #757980 писал(а):

Формула, которую Вы забраковали с мотивацией "очень долго" (а там и впрямь не очень-то красиво) - она такова, какова есть. Любая другая будет либо такая же, либо неправильная. Вы что предпочитаете?

Предпочитаю увидеть формулу. Чтобы не гадать, нужная она мне такая или нет. Может быть она лучше ляжет в код.... кто знает...

ИСН в сообщении #757980 писал(а):

Нет, ну или так:
$ \begin{cases} \rho = const\\ \theta = const \\ \varphi \text{ меняется от }0\text{ до }2\pi\\ \end{cases} $
Нравится? Нет? Почему?

Прикол не понял

[ИСН]

А как Вы тогда собираетесь понимать более сложные вопросы, которые поднимутся в дальнейшем? Я привёл какую-то формулу в сферических координатах. Окружность ли это? Да, окружность. На сфере? На сфере. Нравится? Нет? Почему?

[snake32]

ИСН в сообщении #758016 писал(а):

А как Вы тогда собираетесь понимать более сложные вопросы, которые поднимутся в дальнейшем? Я привёл какую-то формулу в сферических координатах. Окружность ли это? Да, окружность. На сфере? На сфере. Нравится? Нет? Почему?

Ok. Давайте начнём с простого. Не нравится мне такая формула.
Начну с начала $\rho = \operatorname{const}$ я так понял это высота в сферической СК, которая у меня всегда равна единице. Сфера то единичная. Если под const понимается что-то отличное от единицы то уже любая окружность лежит не на сфере. По крайней мере не на моей единичной.
$\theta = \operatorname{const}$ - широта
$\varphi$ меняется от 0 до $2\pi$ - долгота.
По сути эта система описывает широту $\theta$ на глобусе радиусом $\rho$. Понятно что центр этой окружности может быть только на одном из полюсов этого глобуса. Не понятно зачем вы мне это написали? Интерес представляет система которая описывает окружность с центром вне полюсов.

[ИСН]

Затем и написал, чтобы Вы озвучили все условия. Оказывается, нужна формула, описывающая все (*) окружности, которые лежат на единичной (**) сфере с центром в начале координат (***).
* - этого не было сказано явно до сих пор;
** - это было;
*** - этого сказано не было, а пример с плоскостью наводил на противоположные мысли.
Ну да ладно, это всё лирика, а по сути я ответил во втором посте: формула будет уродливая (арккосинусы от линейных преобразований от косинусов), причин упрощаться у неё нет.

[Алексей К.]

Обсуждавшуюся уродливость я осознавать пока поленился.
А что мешает взять стереографическую проекцию произвольной плоской окружности (прямой) $[x(t),y(t)]$ на сферу с центром в начале координат и получить вожделенное уравнение $[X(t),Y(t),Z(t)]$? Потом, если сильно надо, из декартовых в сферические перейти.
Не припоминаю, чтоб там было что-то сложное или уродливое.

Проверю на досуге, но может ТС раньше проделает и расскажет,..

snake32 в сообщении #757946 писал(а):

Преобразовывать в 3д декартову СК, потом вычислять матрицу поворота, затем вращать и далее обратно в сферическую СК не хотелось бы.

Такого геморроя я просто не вижу. Или я чего-то не понял?

[iifat]

Алексей К. в сообщении #758074 писал(а):

Получить вожделенное уравнение $[X(t),Y(t),Z(t)]$

Как я понимаю, ТС желает именно в сферических координатах.

Алексей К. в сообщении #758074 писал(а):

стереографическую проекцию произвольной плоской окружности

Кстати говоря, вот тут получатся, как понимаю, помимо окружностей — что-то типа сферических эллипсов, нет? Или уж как там эти кривые называются...

[Алексей К.]

Никаких эллипсов: взаимно-однозначное соответствие (простите за старомодное слово) между прямыми-окружностями на плоскости и окружностями на сфере.

-- 27 авг 2013, 12:43:04 --

Ой, сколько же у меня всякого барахла накопилось! Не пригодилось в своё время, но и не выбросил!
Сфера $(X,Y,Z)$ лежит на плоскости, касается её в нуле.

$$ X=\dfrac{4R^2x}{p^2+4R^2},\quad Y=\dfrac{4R^2y}{p^2+4R^2},\quad Z=\dfrac{2Rp^2}{p^2+4R^2}=R+\dfrac{R(p^2-4R^2)}{p^2+4R^2}\quad (p^2=x^2{+}y^2).$$

Обратно:

$$ p^2=\dfrac{4R^2Z}{2R-Z},\quad x=\dfrac{2RX}{2R-Z},\quad y=\dfrac{2RY}{2R-Z},\quad z=0. $$

Центры и радиусы получающихся окружностей тоже имеются, если чо.

-- Добавил 28 авг 2013 --

Если центр сферы --- в начале координат, то точка $(x,y)$ поскости проецируется в точку

$$ X=\dfrac{2R^2x}{x^2+y^2+R^2},\quad Y=\dfrac{2R^2y}{x^2+y^2+R^2},\quad Z=\dfrac{R(x^2+y^2-R^2)}{x^2+y^2+R^2}$$

на сфере.

[Otta]

Эээ, всё когда-нибудь да было. :) topic29896.html

[snake32]

Короче, я, наконец-то, понял какая формула мне нужна:
Сферический треугольник имеет точки A,B,C. Причём точка A - северный полюс. Координаты точки B тоже известны. Нужно найти координаты точки С, зная азимут(это угол В в сферическом треугольнике ABC) и угол BOC(через него можно найти длину дуги BC $BC = R\cdot \widehat{BOC}$ ). Точка O - центр сферической СК.

В итоге должна получится параметрическая формула окружности в сферической СК, где азимут - параметр t(см мой первый пост),$ \widehat{BOC}$ - радиус окружности не привязанный к радиусу сферы. И известная точка B - центр окружности на поверхности сферы

Нашёл доку по сферическим треугольникам. У меня мозг кипит. Помогите.
http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node10.html

[iifat]

Ну дык вот же они, формулы. Письмо Алексей К. посмотрите. $x=p\cos(t-\varphi_0), y=p\sin(t-\varphi_0)$ Осталось правильно подобрать $\varphi$