Количество точек на эллиптической кривой над конечным полем

[rkrkrk]

Пусть эллиптическая кривая с уравнением: $y^2 = x^3 + 1$ имеет ($q^2 + 2q + 1$) $\mathbb{F}_{q^2}$-рациональных точек

Пусть $\zeta$ - образующий $\mathbb{F}_{q^2}^*/\mathbb{F}_{q^2}^{*6}$.
Кривая $E'$ с уравнением $y^2 = x^3 + \zeta$ имеет ($q^2 + q +1$) $\mathbb{F}_{q^2}$-рациональных точек (http://www.math.brown.edu/~reinier/supersingular.pdf).
Почему?

[Leox]

напишите автору статьи

[Sonic86]

А я, честно говоря, не понял, что такое

rkrkrk в сообщении #756253 писал(а):

$\mathbb{F}_{q^2}^*/\mathbb{F}_{q^2}^{*6}$.

[apriv]

Sonic86 в сообщении #757638 писал(а):

А я, честно говоря, не понял, что такое

Да чего там, для любой абелевой группы $G$ можно рассмотреть фактор-группу $G/G^6$.

[Sonic86]

apriv в сообщении #757649 писал(а):

Да чего там, для любой абелевой группы $G$ можно рассмотреть фактор-группу $G/G^6$.

Ааа, $G^6$ - это $\{g^6:g\in G\}$? А я-то подумал, что $G^6=G\times G\times G\times G\times G\times G$. Прошу извинить.

[apriv]

rkrkrk в сообщении #756253 писал(а):

Кривая $E'$ с уравнением $y^2 = x^3 + \zeta$ имеет ($q^2 + q +1$) $\mathbb{F}_{q^2}$-рациональных точек (http://www.math.brown.edu/~reinier/supersingular.pdf).
Почему?

Потому что след Фробениуса у такой подкрученной кривой в два раза меньше, чем у исходной.

[rkrkrk]

Вымучил:

у кривой $E_3: y^2 = x^3 + \zeta^3$ $q^2 - 2q + 1$ точка, т. к. заменой координат она переводится в $y^2\zeta = x^3 + 1$. Учитывая, что у изначальной кривой $q^2 + 2q +1$ точка, получаем требуемое.

Далее: заменой координат кривая $ E_1: y^2 = x^3 + \zeta$ переводится в $y^2 = \zeta^2x^3 + \zeta^3$, а $E_ 5: y^2 = x^3 + \zeta^2$ в $y^2 = \zeta x^3 + \zeta^3$.
Отсюда не сложно видеть, что в сумме у $E_1, E_5, E_3 3(q^2 + 1)$ точка.
Осталось показать, что у $E_1$ и $E_5$ одинаковое число точек. Это можно получить возведя обе части уравнения $E_1$ в $p$-ую степень.

А как это все по нормальному делать?))