Показать, что данный четырехугольник трапеция

[Clever_Unior]

Дан четырехугольник $ABCD$. Показать, что, если выполняется равенство $\sin(B)/\sin(A)=\sin(C)/\sin(D)$, то данный четырехугольник - трапеция.
апецией ?

Используя сумму углов четырехугольника, $A+B+C+D=4\cdot\pi$, можно упростить равенство к $\sin(B)/\sin(A)=\sin(C)/\sin(-A-B-C)$.

Если данный четырехугольник действительно трапеция, то, или $A = 180-B, D = 180-C$, или $A = 180-D, B = 180-C$, и, при подстановке полученного, равенство выполняется. Но как показать, что четырехугольник всегда будет трапецией?

Задача не из сборников, а придумана самостоятельно, так что, вероятнее всего, четырехугольник не будет трапецией. Может ли кто-то показать, что это так, или опровергнуть ?

[ewert]

Предположите, что это не трапеция, и докажите, что равенство не выполняется. Для этого достройте четырёхугольник до треугольника $AOD$, где $O$ -- точка пересечения "боковых" сторон $AB$ и $DC$. Перепишите равенство $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{\sin C}{\sin D}$ как $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{\sin A}{\sin D}$. По теореме синусов каждое из двух последних отношений равно отношению противолежащих сторон в треугольниках $BOC$ и $AOD$ соответственно. При $BC\|AD$ эти отношения сторон и впрямь одинаковы; но тогда, очевидно, при отсутствии параллельности и равенства не будет.

[Clever_Unior]

ewert

Огромное спасибо за помощь :)