Периодичность функций y=sin x, y=cos x

[BENEDIKT]

Оба задания - из параграфа "Периодичность функций $y=\sin x, y=\cos x$"

1) Докажите тождество:
$\sin^2 (x-8 \pi)=1- \cos^2 (16 \pi -x)$

Для функций вида $y=\sin x, y=\cos x$ периодом является любое число вида $2 \pi k$
Поскольку $\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha$, то $\sin^2 (x-8 \pi) = 1-cos^2 (x-8 \pi)$
Как я понимаю, необходимо "превратить" $1- \cos^2 (16 \pi -x)$ в $1-\cos^2 (x-8 \pi)$
Но как это сделать? Период функции - это такое $T$, при котором $f(x-T)=f(x)=f(x+t)$
Но если $1-\cos^2 (x-8 \pi)$ можно представить как $f(x-T)$, где $T=2 \pi k=2 \pi 4$, то $1- \cos^2 (16 \pi -x)$ можно представить как $f(2T-x)$ или $f(-x+2T)$
Как тогда можно доказать тождество?

2) Вычислите:
$\cos(t+4 \pi)$, если $\cos (2\pi -t)=\frac{-3}{5}$

Согласно одной из формул приведения, $\cos (2\pi-t)=\cos t$ Тогда $\cos (2\pi -t)=\cos t=\frac{-3}{5}$
В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos (2\pi -t)$ (или $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos t$)?

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #757423 писал(а):

Согласно одной из формул приведения, $\cos (2\pi-t)=\cos t$ Тогда $\cos (2\pi -t)=\cos t=\frac{-3}{5}$
В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos (2\pi -t)$ (или $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos t$)?

В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся $\cos t$и $\cos t$?...

[Ms-dos4]

BENEDIKT
1)Косинус чётная функция $\[\cos (x) = \cos ( - x)\]$
Поэтому $\[\cos (x - 8\pi ) = \cos (x - 16\pi ) = \cos (16\pi - x)\]$
2)Я вопроса не понял. Что значит как соотносятся? Это одно и то же с точностью до сдвига.

[svv]

BENEDIKT в сообщении #757423 писал(а):

периодом является любое число вида $2 \pi k$

BENEDIKT в сообщении #757423 писал(а):

как соотносятся $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos (2\pi -t)$ (или $\cos(t+4 \pi)$ и $\cos t$)?

Вероятно, Вы не знаете, как соотносятся $2\pi k$ и $4\pi$, вот в чём загвоздка.

[BENEDIKT]

Теперь понял. Большое спасибо всем за помощь!

[emma]

в этой функции 8 пи и 16 пи это периоды значит их можно отбросить, Останется sin2x=1-cos2x.

[svv]

Всё верно, emma. Двойки — это, конечно, квадраты.

Кстати, у нас здесь можно (и даже нужно) красиво писать формулы.
Если окружить знаками доллара текст 8\pi , получится $8\pi$.
Если то же сделать с формулой \sin^2 x=1-\cos^2 x , получится $\sin^2 x=1-\cos^2 x$. Попробуйте!