методы нахождения собственных чисел и векторов матрицы

[romka_pomka]

Подскажите пожалуйста, какие существуют более-менее удобные аналитические методы поиска собственных чисел и векторов матриц, размером от 4х4 до 8х8?

[Евгений Машеров]

Аналитические - в смысле явного выражения? Не знаю. Или имеются в виду численные?
Тогда сильно зависит от:
1. Действительная/комплексная.
2. Симметричная(для комплексных - эрмитова)/несимметричная.
3. Все ли с.з. и с.в. нужны.

Для симметричных и когда нужны все с.з. и с.в., можно Якоби (не самый быстрый, но для небольших матриц, может, до 100х100, особой экономии и не надо), простой и гарантирующий ортогональность даже при кратных с.з., можно QR и обратные итерации (существенно сложнее алгоритм, и для кратных и даже близких с.з. может ортогональность теряться, надо особо заботиться), если надо только некоторые с.в. - экономия может быть приличной. Если нужен лишь старший с.в. - степенной метод, позволяет найти для таких размеров даже вручную.
Для несимметричных есть и Якоби, и QR, и LR.

[romka_pomka]

Евгений Машеров в сообщении #756833 писал(а):

Аналитические - в смысле явного выражения? Не знаю.

Да, их. И я вот тоже не знаю. Спасибо.

[Sonic86]

romka_pomka в сообщении #757149 писал(а):

И я вот тоже не знаю.

Если я не туплю, то можно аналитическое выражение для собственного числа матрицы $4\times 4$ найти методом Феррари. Но, как известно, лучше так не делать. В остальных случаях все еще хуже: аналитического выражения через корни в общем случае нет (поскольку уравнение 5-й и выше степени неразрешимо в радикалах), но есть аналитическое выражение через некоторые тета-функции (в которых я, к сожалению, не разбираюсь совсем)

[Евгений Машеров]

Да, действительно, поскольку задачу нахождения корней многочлена можно свести к нахождению собственных значения матрицы, то существование такого выражения означало бы, что существует аналитическое выражение для корней многочлена соответственной степени.
А что нужно? Может, там хватит теории возмущений?

[romka_pomka]

Евгений Машеров в сообщении #757198 писал(а):

А что нужно? Может, там хватит теории возмущений?

Может быть хватит теории возмущений, я не знаю. Задача выглядит так: перевести "всё" в систему собственных векторов одной матрицы.

[Евгений Машеров]

А что есть "всё"?