Рассмотрим динамическую систему
Предположим, что эта система имеет инвариантную дифференциальную форму
Теорема (Эйлер).
При система (*) интегрируется в квадратурах.Замечание. В классических учебниках по дифурам, функция называется интегрирующим множителем.Для доказательства теоремы Эйлера надо заметить, что форма
замкнута (это следует из формулы гомотопии:
) и потому локально точна. Первый интеграл системы (*) находится по формуле
.
Теорема.(Эйлер)
Пусть система (*) имеет независимых первых интеграла и инвариантную форму (**). Тогда система (*) интегрируется в квадратурах.Доказательство.Введем локально систему координат
такую, что
, и рассмотрим поверхность уровня
Локальными координатами на поверхности
будут
.
Векторное поле
в новых координатах имеет вид
Это поле тривиально сужается на поверхность
и получается поле
В новых координатах
.
Поле
имеет инвариантную форму
-- это проверяется непосредственным вычислением:
.
Для завершения доказательства остается применитьпредыдущую теорему.
Замечание. Не следует думать, что форма является сужением формы на .