интегрирующий множитель

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим динамическую систему

$$\dot x=v(x),\quad x\in \mathbb{R}^m\qquad (*)$$

Предположим, что эта система имеет инвариантную дифференциальную форму

$$\omega=\rho(x)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m,\quad L_v\omega=\mathrm{div}\,\rho vdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0,\quad \mathrm{div}\,\rho v=\frac{\partial}{\partial x^i}(\rho v^i),\quad \rho\ne 0\qquad (**)$$

Теорема (Эйлер). При $m=2$ система (*) интегрируется в квадратурах.

Замечание. В классических учебниках по дифурам, функция $\rho$ называется интегрирующим множителем.

Для доказательства теоремы Эйлера надо заметить, что форма $\nu=i_v\omega$ замкнута (это следует из формулы гомотопии: $0=L_v\omega=di_v\omega+i_vd\omega,\quad d\omega=0$) и потому локально точна. Первый интеграл системы (*) находится по формуле $f(x)=\int\nu$.


Теорема.(Эйлер) Пусть система (*) имеет $m-2$ независимых первых интеграла $f_1,\ldots, f_{m-2}$ и инвариантную форму (**). Тогда система (*) интегрируется в квадратурах.

Доказательство.

Введем локально систему координат $y$ такую, что $f_i=y^i$, и рассмотрим поверхность уровня

$$N_c=\{y^i=c^i\mid i=1,\ldots, m-2 \},\quad c=(c^i),\quad \dim N_c=2$$

Локальными координатами на поверхности $N_c$ будут $y^{m-1},y^m$.

Векторное поле $v$ в новых координатах имеет вид $v=(0,\ldots,0,\tilde v^{m-1},\tilde v^m).$ Это поле тривиально сужается на поверхность $N_c$ и получается поле $u_c=(\tilde v^{m-1},\tilde v^m)(c,y^{m-1},y^m).$

В новых координатах $\omega=\tilde \rho(y)dy^1\wedge\ldots\wedge dy^m$.

Поле $u_c$ имеет инвариантную форму $\nu_c=\tilde\rho(c,y^{m-1},y^m)dy^{m-1}\wedge dy^m$ -- это проверяется непосредственным вычислением: $\mathrm{div}\,\nu_cu_c=0$.
Для завершения доказательства остается применитьпредыдущую теорему.

Замечание. Не следует думать, что форма $\nu_c$ является сужением формы $\omega$ на $N_c$.

[scwec]

Не имею претензий к изложению доказательства этих хорошо известных фактов.
Но думаю, что в авторстве надо вместе с Л.Эйлером написать К.Якоби (множитель Якоби), С.Ли (производная Ли), А.Пуанкаре (интегральные инварианты). Уже у П.Аппеля всё это присутствует.
Интересно, как это студенты воспринимают? Вот, если сравнивать их восприятие Лекций по динамике К.Якоби (если они их читают, конечно) с изложенными здесь доказательствами? Что вообще сейчас читают студенты мехмата по аналитической механике?

[Oleg Zubelevich]

А Вы мне лучше скажите, как форму $\nu_c$ определить в инвариантных терминах?

[scwec]

Oleg Zubelevich
1. Успел прочитать Ваше пропавшее потом сообщение с ответами на мои вопросы. Оно меня вполне устроило.

2. По поводу в инвариантных терминах. Тут можно действовать следующим образом. Последовательно определять на линиях уровня первых интегралов инвариантные замкнутые формы, понижая их порядок на единицу внутренним умножением $i_v$. Первый шаг: на $f_1=c_1$ форма $\omega^1=i_v\omega$. Второй шаг: на $f_1=c_1,f_2=c_2$ форма $\omega^2=i_v\omega^1$ и т.д. пока не дойдём до размерности 2.
Эта форма и будет $\nu_c$. (Конечно, $v$ и $\omega^i$ каждый раз это ограничение на следующую линию уровня.)

3. Вспомнил красивую теорему. Доказывается в инвариантных терминах безо всяких координат. Может, Вы её и знаете.
Размерность $m$. Пусть векторное поле $v$ имеет $m-2$ независимых и коммутирующих между собой векторных полей симметрий $v_1,v_2,...,v_{m-2}$ и инвариантную $m$-форму $\omega$, которая является инвариантной и для $v_i$.
При этих условиях $v$ интегрируется в квадратурах.
По-моему, её можно усилить.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #756925 писал(а):

2. По поводу в инвариантных терминах. Тут можно действовать следующим образом. Последовательно определять на линиях уровня первых интегралов инвариантные замкнутые формы, понижая их порядок на единицу внутренним умножением $i_v$. Первый шаг: на $f_1=c_1$ форма $\omega^1=i_v\omega$. Второй шаг: на $f_1=c_1,f_2=c_2$ форма $\omega^2=i_v\omega^1$ и т.д. пока не дойдём до размерности 2.
Эта форма и будет $\nu_c$. (Конечно, $v$ и $\omega^i$ каждый раз это ограничение на следующую линию уровня.)

понял

scwec в сообщении #756925 писал(а):

Вспомнил красивую теорему. Доказывается в инвариантных терминах безо всяких координат. Может, Вы её и знаете.
Размерность $m$. Пусть векторное поле $v$ имеет $m-2$ независимых и коммутирующих между собой векторных полей симметрий $v_1,v_2,...,v_{m-2}$ и инвариантную $m$-форму $\omega$, которая является инвариантной и для $v_i$.
При этих условиях $v$ интегрируется в квадратурах.

а 1-форма $\nu=i_{v_1}\ldots i_{v_{m-2}}i_v\omega$ обязана быть нетривиальной?

Можно проверить, что $d\nu=0$ . Если $\nu \ne 0$ то имеется нетривиальный первый интеграл $f,\quad df=\nu$ общий для всех векторных полей. На уровне этого первого интеграла мы попадаем в условия теоремы Ли, точнее в ее частный случай

[scwec]

Схема доказательства верная. Она и имелась в виду. $f\ne\operatorname{const}$ поскольку $v_1,v_2,...,v_{m-2},v$ независимы.

[Oleg Zubelevich]

а Вы не пробовали книжку написать со всеми этими теоремками?

[Munin]

Oleg Zubelevich
А давайте вы книжку будете писать? А на форум своих замечательных наблюдений выкладывать перестанете...

[scwec]

Вот что пишет В.В.Козлов по поводу той области, которая здесь слегка затронута.
"К сожалению, теория интегрирования дифференциальных уравнений с использованием тензорных инвариантов пока ещё недостаточно развита. Полученные в этом направлении результаты пока носят разрозненный характер".
Книжка по этим вопросам очень бы не помешала. Может и появится.

[Toucan]

Munin, предупреждение за попытку самостоятельного модерирования.