2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство для одного функционала
Сообщение19.08.2013, 13:31 


02/11/11
124
Помогите, пожалуйста, никак не соображу.
Есть линейные операторы $A$ и $\tilde A,$ действующие в гильбертовых пространствах $H \to F,$ причем $\|A - \tilde A\|\leqslant h.$
Рассматриваются два функционала $f(x) = \|Ax - f\|_F^2$ и $\tilde f(x) = \|Ax - f\|_F^2,$ $x \in H.$

Вот утверждается, что
$$
|f(x) -\tilde f(x)| \leqslant h \cdot \max\{\|f\|_F^2,1+h+2\|A\|\}(1+ \|x\|_H^2).
$$

Я стал расписывать и никак не выходит:
$$
|f(x) -\tilde f(x)| = \Big|\|Ax\|^2_F - \|\tilde Ax\|^2_F + 2\langle f, (\tilde A - A) x\rangle\Big| \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 + 2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|
$$
последнее по Коши-Буняковскому и определению нормы ($\| (\tilde A - A) x\|\leqslant \| (\tilde A - A) \| \|x\| \leqslant h\|x\|$). Как быть дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 09:45 


02/11/11
124
Извиняюсь, написал полную ерунду, да еще обозначения одинаковые.

Рассматриваются два функционала $J(x) = \|Ax - f\|_F^2$ и $\tilde J(x) = \|Ax - f\|_F^2,$ $x \in H.$

Утверждается, что
$$
|J(x) -\tilde J(x)| \leqslant h \cdot \max\{\|f\|_F^2,1+h+2\|A\|\}(1+ \|x\|_H^2).
$$

Моя попытка:
$$
|J(x) -\tilde J(x)| = \Big|\|Ax\|^2_F - \|\tilde Ax\|^2_F + 2\langle f, (\tilde A - A) x\rangle\Big| \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 \Big| + \Big|2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|
$$
последнее по Коши-Буняковскому и определению нормы ($\| (\tilde A - A) x\|\leqslant \| (\tilde A - A) \| \|x\| \leqslant h\|x\|$). Как быть дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 10:36 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
У Вас "слишком много неизвестных". Выразите $\tilde J(x) - J(x)$ так, чтобы в правой части уже не было $\tilde A$. Для этого достаточно положить $y = \tilde A x - A x$. А затем уже можно оценить норму $\|y\|$ через $h$ и $\|x\|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 22:03 


02/11/11
124
Да, обозначений многовато.
Ну так получается, что $\|y\|\leqslant h \cdot \|x\|.$
И если делать так, как я делал, то можно получить, что (если $\|\tilde Ax\|=\|y + Ax\|$)
$$
|\tilde J(x) - J(x)| =\Big|\|Ax-f\|^2 - \|Ax + y- f\|^2\Big| = \Big|-2\langle Ax, y\rangle + 2 \langle f,y\rangle\Big|
$$
Непонятно, откуда вообще может появиться $\|f\|^2$...
Даже если подставить оценку нормы $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение23.08.2013, 04:16 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
И опять у Вас неправильное выражение. Может надо повнимательнее работать?

max(Im) в сообщении #756745 писал(а):
Непонятно, откуда вообще может появиться $\|f\|^2$...

Ну откуда берутся квадраты норм, когда есть скалярное произведение ... Неравенства какие-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение23.08.2013, 22:43 


02/11/11
124
sup в сообщении #756799 писал(а):
Может надо повнимательнее работать?

А с чего вы взяли, что я невнимательно "работаю"? :shock:

Да, не дописал (писать в ТеХ - это не та "работа"):
$$
\big|-2\langle Ax, y\rangle+2\langle f, y\rangle - \|y\|^2\big|
$$
Применять дальше можно Коши-Буняковского, можно оценку для $\|y\|,$ но все равно квадрат $\|f\|^2$ сократился и нету с квадратом.

Какие неравенства? Вот применяю, получается лишь норма $\|f\|,$ а квадрат никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 17:54 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Вам виднее, что Вы делаете внимательно, а что нет. Я же просто предполагал, что причиной Ваших проблем является именно невнимательность.
Вот и сейчас я решительно не вижу, с чем это может сократиться $\|f\|^2$. Может Вы покажите, как Вы избавляетесь от всех этих модулей и скалярных произведений. Как мне кажется, если все аккуратно расписать, ответ получается сам собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 18:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
max(Im) в сообщении #756536 писал(а):
$$ \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 \Big| + \Big|2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|$$

Ну хорошо. Теперь первая разность квадратов естественным образом оценивается как $\big(\|Ax\|+\|\tilde Ax\|\big)\cdot\big|\|Ax\|-\|\tilde Ax\|\big|\leqslant(2\|A\|+h)\cdot h\cdot\|x\|^2$. Итого получается оценка сверху $\leqslant h\big((2\|A\|+h)\|x\|^2+2\|x\|\cdot\|f\|\big)\leqslant h\big((1+h+2\|A\|)\|x\|^2+\|f\|^2\big)$. Это то, что получается тупо, безо всяких раздумий, и по-хорошему следовало бы здесь и остановиться. Но если уж приспичило огрубить её ещё сильнее -- до той причудливой, что в стартовом посте, -- то остаётся лишь доказать неравенство $\alpha t+\beta\leqslant(1+t)\cdot\max\{\alpha,\beta\}$. Сможете?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 18:53 


02/11/11
124
Ясно, спасибо :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group