2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство для одного функционала
Сообщение19.08.2013, 13:31 
Помогите, пожалуйста, никак не соображу.
Есть линейные операторы $A$ и $\tilde A,$ действующие в гильбертовых пространствах $H \to F,$ причем $\|A - \tilde A\|\leqslant h.$
Рассматриваются два функционала $f(x) = \|Ax - f\|_F^2$ и $\tilde f(x) = \|Ax - f\|_F^2,$ $x \in H.$

Вот утверждается, что
$$
|f(x) -\tilde f(x)| \leqslant h \cdot \max\{\|f\|_F^2,1+h+2\|A\|\}(1+ \|x\|_H^2).
$$

Я стал расписывать и никак не выходит:
$$
|f(x) -\tilde f(x)| = \Big|\|Ax\|^2_F - \|\tilde Ax\|^2_F + 2\langle f, (\tilde A - A) x\rangle\Big| \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 + 2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|
$$
последнее по Коши-Буняковскому и определению нормы ($\| (\tilde A - A) x\|\leqslant \| (\tilde A - A) \| \|x\| \leqslant h\|x\|$). Как быть дальше?

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 09:45 
Извиняюсь, написал полную ерунду, да еще обозначения одинаковые.

Рассматриваются два функционала $J(x) = \|Ax - f\|_F^2$ и $\tilde J(x) = \|Ax - f\|_F^2,$ $x \in H.$

Утверждается, что
$$
|J(x) -\tilde J(x)| \leqslant h \cdot \max\{\|f\|_F^2,1+h+2\|A\|\}(1+ \|x\|_H^2).
$$

Моя попытка:
$$
|J(x) -\tilde J(x)| = \Big|\|Ax\|^2_F - \|\tilde Ax\|^2_F + 2\langle f, (\tilde A - A) x\rangle\Big| \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 \Big| + \Big|2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|
$$
последнее по Коши-Буняковскому и определению нормы ($\| (\tilde A - A) x\|\leqslant \| (\tilde A - A) \| \|x\| \leqslant h\|x\|$). Как быть дальше?

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 10:36 
У Вас "слишком много неизвестных". Выразите $\tilde J(x) - J(x)$ так, чтобы в правой части уже не было $\tilde A$. Для этого достаточно положить $y = \tilde A x - A x$. А затем уже можно оценить норму $\|y\|$ через $h$ и $\|x\|$.

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение22.08.2013, 22:03 
Да, обозначений многовато.
Ну так получается, что $\|y\|\leqslant h \cdot \|x\|.$
И если делать так, как я делал, то можно получить, что (если $\|\tilde Ax\|=\|y + Ax\|$)
$$
|\tilde J(x) - J(x)| =\Big|\|Ax-f\|^2 - \|Ax + y- f\|^2\Big| = \Big|-2\langle Ax, y\rangle + 2 \langle f,y\rangle\Big|
$$
Непонятно, откуда вообще может появиться $\|f\|^2$...
Даже если подставить оценку нормы $y$.

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение23.08.2013, 04:16 
И опять у Вас неправильное выражение. Может надо повнимательнее работать?

max(Im) в сообщении #756745 писал(а):
Непонятно, откуда вообще может появиться $\|f\|^2$...

Ну откуда берутся квадраты норм, когда есть скалярное произведение ... Неравенства какие-то.

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение23.08.2013, 22:43 
sup в сообщении #756799 писал(а):
Может надо повнимательнее работать?

А с чего вы взяли, что я невнимательно "работаю"? :shock:

Да, не дописал (писать в ТеХ - это не та "работа"):
$$
\big|-2\langle Ax, y\rangle+2\langle f, y\rangle - \|y\|^2\big|
$$
Применять дальше можно Коши-Буняковского, можно оценку для $\|y\|,$ но все равно квадрат $\|f\|^2$ сократился и нету с квадратом.

Какие неравенства? Вот применяю, получается лишь норма $\|f\|,$ а квадрат никак.

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 17:54 
Вам виднее, что Вы делаете внимательно, а что нет. Я же просто предполагал, что причиной Ваших проблем является именно невнимательность.
Вот и сейчас я решительно не вижу, с чем это может сократиться $\|f\|^2$. Может Вы покажите, как Вы избавляетесь от всех этих модулей и скалярных произведений. Как мне кажется, если все аккуратно расписать, ответ получается сам собой.

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 18:49 
max(Im) в сообщении #756536 писал(а):
$$ \leqslant 
\Big|\|Ax\|_F^2 - \|\tilde Ax\|_F^2 \Big| + \Big|2\cdot \|f\|_F \cdot h \cdot \|x\|_H\Big|$$

Ну хорошо. Теперь первая разность квадратов естественным образом оценивается как $\big(\|Ax\|+\|\tilde Ax\|\big)\cdot\big|\|Ax\|-\|\tilde Ax\|\big|\leqslant(2\|A\|+h)\cdot h\cdot\|x\|^2$. Итого получается оценка сверху $\leqslant h\big((2\|A\|+h)\|x\|^2+2\|x\|\cdot\|f\|\big)\leqslant h\big((1+h+2\|A\|)\|x\|^2+\|f\|^2\big)$. Это то, что получается тупо, безо всяких раздумий, и по-хорошему следовало бы здесь и остановиться. Но если уж приспичило огрубить её ещё сильнее -- до той причудливой, что в стартовом посте, -- то остаётся лишь доказать неравенство $\alpha t+\beta\leqslant(1+t)\cdot\max\{\alpha,\beta\}$. Сможете?...

 
 
 
 Re: Неравенство для одного функционала
Сообщение24.08.2013, 18:53 
Ясно, спасибо :-)

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group