опять о линейных и аффинных пространствах

[Oleg Zubelevich]

цитата из Колмогорова Фомина(2004):


Теперь возьмем функционал Эйлера

$$F(x(\cdot))=\int_{t'}^{t''}L(x(t),\dot x(t),t)dt$$

который принято определять на множестве

$$X=\{x(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid x(t')=x',\quad x(t'')=x''\}$$

Мы этот функционал очень любим дифференцировать, а некоторые любят его дифференцировать даже дважды. Проблема только в том, что в соответствие с цитированным определением делать это невозможно, поскольку множество $X$ не может быть нормированным пространством, просто потому, что оно не является линейным пространством. (Хотя, конечно, в тексте фигурирует слово "точка" понятно о чем пишут авторы, только понятно ли это бывает студентам? Путаница зафиксирована даже в заголовке)

На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть

$$F(x+h)-F(x)=L_xh+o(h),$$

где $x$ -- это элемент аффинного пространства $X$, а $h$ это элемент ассоциированного линейного пространства $\overline X$.

Это можно было бы считать пустой придиркой и буквоедством, но на примере функционала Эйлера очень хорошо видно, что аффинное пространство $X$ и соответствующее ему линейное пространство $\overline X$ совершенно различны и смешивать их нельзя:

$$\overline X=\{h(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid h(t')= h(t'')=0\}$$

[Munin]

Я думал, у вас к нормированности серьёзные придирки, а смещение на вектор - это как-то ерунда...

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #756158 писал(а):

На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть

На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных. И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

[Oleg Zubelevich]

Otta в сообщении #756322 писал(а):

На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных

разумеется, просто мне важно было подчеркнуть разницу между аффинным пространством и линейным пространством. Вот в приведенном примере эта разница весьма ощутима. Когда говорят "нормированное пространство" то по умолчанию подразумевается "линейное"

Otta в сообщении #756322 писал(а):

И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

мне нравится читать Лорана Шварца "Анализ", там изложение доведено до полной ясности:


Вот в $\mathbb{R}^m$ там точка это набор чисел и вектор это набор чисел , и все и так понятно геометрически. Поэтому может показаться, что понятия "аффинное пространство" это просто какое-то наукообразие лишнее. Ан нет, есть примеры , когда это очень важно. Вот к этому пафос моего выступления и сводился А еще аффинное нормированное пространство является метрическим пространством. И это тоже надо проговаривать студентам явно, как бы тривально это не звучало.

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #756353 писал(а):

Вот к этому пафос моего выступления и сводился

Ага. Я этот пример хотела Вы-помните-когда привести, потому что здесь действительно разница наиболее наглядна, на мой взгляд. Но там это было уж больно некстати.