2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение20.08.2013, 14:42 
цитата из Колмогорова Фомина(2004):
Изображение

Теперь возьмем функционал Эйлера
$$F(x(\cdot))=\int_{t'}^{t''}L(x(t),\dot x(t),t)dt$$
который принято определять на множестве $$X=\{x(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid x(t')=x',\quad x(t'')=x''\}$$
Мы этот функционал очень любим дифференцировать, а некоторые любят его дифференцировать даже дважды. Проблема только в том, что в соответствие с цитированным определением делать это невозможно, поскольку множество $X$ не может быть нормированным пространством, просто потому, что оно не является линейным пространством. (Хотя, конечно, в тексте фигурирует слово "точка" понятно о чем пишут авторы, только понятно ли это бывает студентам? Путаница зафиксирована даже в заголовке)

На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть
$$F(x+h)-F(x)=L_xh+o(h),$$
где $x$ -- это элемент аффинного пространства $X$, а $h$ это элемент ассоциированного линейного пространства $\overline X$.

Это можно было бы считать пустой придиркой и буквоедством, но на примере функционала Эйлера очень хорошо видно, что аффинное пространство $X$ и соответствующее ему линейное пространство $\overline X$ совершенно различны и смешивать их нельзя: $$\overline X=\{h(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid h(t')= h(t'')=0\}$$

 
 
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 01:15 
Аватара пользователя
Я думал, у вас к нормированности серьёзные придирки, а смещение на вектор - это как-то ерунда...

 
 
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 07:40 
Oleg Zubelevich в сообщении #756158 писал(а):
На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть

На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных. И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

 
 
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 11:56 
Otta в сообщении #756322 писал(а):
На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных

разумеется, просто мне важно было подчеркнуть разницу между аффинным пространством и линейным пространством. Вот в приведенном примере эта разница весьма ощутима. Когда говорят "нормированное пространство" то по умолчанию подразумевается "линейное"
Otta в сообщении #756322 писал(а):
И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

мне нравится читать Лорана Шварца "Анализ", там изложение доведено до полной ясности:
Изображение

Вот в $\mathbb{R}^m$ там точка это набор чисел и вектор это набор чисел , и все и так понятно геометрически. Поэтому может показаться, что понятия "аффинное пространство" это просто какое-то наукообразие лишнее. Ан нет, есть примеры , когда это очень важно. Вот к этому пафос моего выступления и сводился :D А еще аффинное нормированное пространство является метрическим пространством. И это тоже надо проговаривать студентам явно, как бы тривально это не звучало.

 
 
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 13:04 
Oleg Zubelevich в сообщении #756353 писал(а):
Вот к этому пафос моего выступления и сводился

Ага. Я этот пример хотела Вы-помните-когда привести, потому что здесь действительно разница наиболее наглядна, на мой взгляд. Но там это было уж больно некстати.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group