Взаимодействие круговых витков с током

[nikvic]

Там всё в порядке - рассматривается асимптотика для больших расстояний. Жаль, что не привели аналогию со взаимодействием электрических диполей.

[Omega]

svv, то есть автор хочет сказать что та самая параллельная оси витков компонента индукции магнитного поля приближённо одинакова в любой точке какого-либо из витков?

[svv]

Ну, а точные формулы, увы, включают в себя эллиптические функции.

[Omega]

svv, спасибо.
nikvic, кстати в этой статье использован тот же метод определения радиальной составляющей вектора индукции магнитного поля, что я предлагал выше.
Только не ясно одно: раз они рассматривают индукцию в центре второго кольца, как они могут тогда в этой же точке рассматривать радиальную составляющую того же самого вектора, если как раз-таки в центре она отсутствует в виду того, что конический "веер" векторов индукции элементарных участков тока первого витка симметричен в этой же самой точке?

[nikvic]

Omega в сообщении #756204 писал(а):

то есть автор хочет сказать что та самая параллельная оси витков компонента индукции магнитного поля приближённо одинакова в любой точке какого-либо из витков?

Автор знает, что для очень маленьких диполей (виток 1) поле вычисляется легко, а сила (на виток 2) зависит не от величины внешнего поля, а от "пространственной скорости" изменения внешнего поля около диполя-2.

[Omega]

Извините,я повторюсь:

Цитата:

Только не ясно одно: раз они рассматривают индукцию в центре второго кольца, как они могут тогда в этой же точке рассматривать радиальную составляющую того же самого вектора, если как раз-таки в центре она отсутствует в виду того, что конический "веер" векторов индукции, которые создаются элементарными участками тока первого витка, - симметричен в этой же самой точке?

Вот, что я имею в виду:

Я просто жажду узнать эту самую до сих пор мне непостижимую истину!

Заранее спасибо за помощь в разъяснении.

[svv]

Автор опирается на теорему о магнитном потоке (кстати, у него в соответствующей фразе пропущено слово "теорема"). Пропущенные рассуждения автора примерно такие.

Будем вместо $r$ (сферическая координата, расстояние от начала координат) употреблять $\rho$ (цилиндрическая координата, расстояние от оси $z$). Мы знаем, что $\operatorname{div}\mathbf B=0$. В цилиндрических компонентах $(\rho, \varphi, z)$ это будет (справочник Корна по математике, с. 188)
$\frac 1{\rho}\frac{\partial(\rho B_{\rho})}{\partial \rho}+\frac 1{\rho}\frac{\partial B_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$
В силу симметрии $B_{\varphi}=0$, поэтому
$\frac 1{\rho}\frac{\partial(\rho B_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$ (*)

Разложим $B_{\rho}$ в ряд по степеням $\rho$ в окрестности оси:
$B_{\rho}(\rho, z) = a_0(z)+a_1(z)\rho+a_2(z)\rho^2+...$
Если $\rho$ мало, можно оставить первые два слагаемых. Но $a_0=0$, так как $B_{\rho}(0, z)=0$.
$B_{\rho}(\rho, z)=a_1(z)\rho$.

Чтобы найти $a_1(z)$, подставим это в формулу (*).
$\frac 1{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(a_1(z)\rho^2)+\frac{\partial B_z(\rho, z)}{\partial z}=0$
$2 a_1(z)+\frac{\partial B_z(\rho, z)}{\partial z}=0$
Теперь здесь можно взять $\rho=0$:
$a_1(z)=-\frac 1 2\frac{\partial B_z(0, z)}{\partial z}$
Отсюда
$B_{\rho}(\rho, z)=-\frac {\rho} 2\frac{\partial B_z(0, z)}{\partial z}$
Т.е. $\rho$-компонента вблизи оси выражена через $z$-компоненту (вернее, её производную по $z$) на оси.

В интегральном варианте можно рассмотреть маленький цилиндрик, и из условия равенства потока нулю получится то же самое. Так даже проще, но у меня аккуратнее.

[Omega]

svv, огромное спасибо за исчерпывающий ответ.

-- 21.08.2013, 00:28 --

Только непонятно вот это -

svv в сообщении #756233 писал(а):

В силу симметрии $B_{\varphi}=0$

Что это за составляющая $B_{\varphi}$?

[svv]

Не за что.
В интегральном варианте надо предположить, что $B_z$ вблизи оси не зависит от $\rho$ (хотя зависит от $z$). Возьмём маленький цилиндрик, ограниченный плоскостями $z=z_0$, $z=z_0+\Delta z$ и цилиндрической поверхностью $\rho=\rho_0$. Поток $\mathbf B$ через верхнюю "крышку" равен $B_z(z_0+\Delta z)\;\pi\rho^2$, через нижнее "дно" равен $-B_z(z_0)\;\pi\rho^2$ (минус — так как внешняя нормаль к поверхности здесь направлена вниз). Поток через боковую поверхность равен $B_{\rho}(\rho, z)\cdot 2\pi \rho \Delta z$. Всё вместе равно нулю. Отсюда и находим связь, затем устремляем $\Delta z$ к нулю и усматриваем в полученном выражении производную $B_z$ по $z$.

$B_{\varphi}$ — это компонента, соответствующая направлению по касательной к витку. Это проекция $\mathbf B$ на единичный касательный вектор к витку.

[Omega]

svv в сообщении #756241 писал(а):

В интегральном варианте надо предположить, что $B_z$ вблизи оси не зависит от $\rho$ (хотя зависит от $z$). Возьмём маленький цилиндрик, ограниченный плоскостями $z=z_0$, $z=z_0+\Delta z$ и цилиндрической поверхностью $\rho=\rho_0$. Поток $\mathbf B$ через верхнюю "крышку" равен $B_z(z_0+\Delta z)\;\pi\rho^2$, через нижнее "дно" равен $-B_z(z_0)\;\pi\rho^2$ (минус — так как внешняя нормаль к поверхности здесь направлена вниз). Поток через боковую поверхность равен $B_{\rho}(\rho, z)\cdot 2\pi \rho \Delta z$. Всё вместе равно нулю. Отсюда и находим связь, затем устремляем $\Delta z$ к нулю и усматриваем в полученном выражении производную $B_z$ по $z$.

Да да, - вот - моё предыдущее сообщение.
И я бы хотел узнать какой физический смысл имеет знак минус в окончательной формуле для радиальной составляющей индукции магнитного поля?

[svv]

Знак "минус" говорит о том, что если вблизи оси $B_{\rho}>0$ (направлена от оси), то $\frac{\partial B_z}{\partial z}<0$, то есть $B_z$ уменьшается с ростом $z$. И наоборот.
Ну и, в самом деле, $B_z$ всё меньше, потому что мы всё дальше от источника.

Мы можем выбрать $z<0$ (точка наблюдения ниже источника), и тогда $\frac{\partial B_z}{\partial z}>0$, то есть $B_z$ растет с ростом $z$. Но там $B_{\rho}<0$, то есть направлено к оси!

[Omega]

Я понял, - как раз это и, так скажем, "помогает" построить силовые линии магнитного поля: например, поле ослабевает (двигаемся вверх по оси) - линии индукции всё более сильнее стремятся "прочь" от оси, и наоборот.
И наконец, почему же всё-таки $B_{\varphi}=0$ ? Мне очень интересно из каких логических соображений вытекает последнее?
Ещё раз спасибо.

[svv]

Omega в сообщении #756244 писал(а):

почему же всё-таки $B_{\varphi}=0$ ?

А Вы хорошо поняли, за что отвечает эта компонента?

В цилиндрической системе координат в каждой точке $A$ строится локальный базис из трёх векторов, единичной длины и взаимно перпердикулярных.
$\mathbf e_{\rho}$ направлен радиально (от оси $Oz$, перпендикулярно ей)
$\mathbf e_{\varphi}$ направлен по касательной к окружности, проходящей через $A$, и лежащей в плоскости, перпендикулярной $Oz$. Если смотреть со стороны положительного направления $z$ на окружность, то — против часовой стрелки.
$\mathbf e_{z}$ направлен параллельно $Oz$
Любой вектор в точке $A$ (например, $\mathbf B$) можно разложить по этим трём:
$\mathbf B=\mathbf e_{\rho} B_{\rho}+\mathbf e_{\varphi} B_{\varphi}+\mathbf e_{z} B_{z}$
В другой точке надо взять свой базис.

Продолжу попозже. Или другой участник ответит.

[Omega]

svv в сообщении #756256 писал(а):

Omega в сообщении #756244 писал(а):

почему же всё-таки $B_{\varphi}=0$ ?

А Вы хорошо поняли, за что отвечает эта компонента?

Вот, как я себе всё представляю:

Поправьте пожалуйста, если что не так.

[nikvic]

Omega в сообщении #756257 писал(а):

Вот, как я себе всё представляю:

Верно. В силу поворотной симметрии она одинакова вдоль всего кольца. Чему равен интеграл по контуру?