Ускорение в СТО

[Sicker]

Есть ли какие-нибудь особенности преобразования ускорения при переходе из одной ИСО в другую?
Вот в классической механике угол между скоростью и ускорением зависит от ИСО, а вот в СТО никаких фитч нет?

[Munin]

Sicker в сообщении #755779 писал(а):

Есть ли какие-нибудь особенности преобразования ускорения при переходе из одной ИСО в другую?

Разумеется. Ускорение - это часть 4-вектора ускорения. Открываем Ландау-Лифшица "Теория поля"...

Скорость $\mathbf{v}$ даёт 4-вектор скорости $u^\mu=(\gamma,\mathbf{v}\gamma)$ (7.2) (я пользуюсь обозначениями $c=1,$ $\gamma\equiv 1/\sqrt{1-v^2}$ - всё просто для сокращения писанины; 4-мерные индексы греческие, а 3-мерные - латинские). Далее вводится 4-вектор ускорения

$$w^\mu=\dfrac{du^\mu}{ds}.$$

Вычислим его в терминах привычного 3-мерного ускорения $\mathbf{a}$: используя $dt=\gamma\,ds$ (3.1),

$$w^\mu=\gamma\dfrac{du^\mu}{dt}=\gamma\dfrac{d}{dt}(\gamma,\mathbf{v}\gamma)=\gamma\left(\dfrac{d\gamma}{dt},\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}\gamma+\mathbf{v}\dfrac{d\gamma}{dt}\right),$$

$$\dfrac{d\gamma}{dt}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-v^2\right)^{-3/2}\left(-\dfrac{d(\mathbf{v}^2)}{dt}\right)=\left(1-v^2\right)^{-3/2}\mathbf{v}\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{v}\mathbf{a}\gamma^3,$$

$$w^\mu=\gamma\left(\mathbf{v}\mathbf{a}\gamma^3,\mathbf{a}\gamma+\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^3\right).$$

Мы знаем, что такое $\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{a})$ - это проекция ускорения на вектор скорости, $v^2\mathbf{a}_\parallel,$ а соответственно, $v^2\mathbf{a}-\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{a})=v^2\mathbf{a}_\perp.$ Распишем 4-вектор ускорения в этих терминах:

$$w^\mu=\gamma\left(\mathbf{v}\mathbf{a}\gamma^3,(\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp)\gamma+v^2\mathbf{a}_\parallel\gamma^3\right)=\gamma\left(\mathbf{v}\mathbf{a}\gamma^3,(1+v^2\gamma^2)\mathbf{a}_\parallel\gamma+\mathbf{a}_\perp\gamma\right)=\boxed{\gamma^2\left(va_\parallel\gamma^2,\mathbf{a}_\parallel\gamma^2+\mathbf{a}_\perp\right)}$$

Обратим формулу:

$$a_\parallel=\dfrac{w^0}{v\gamma^4},\qquad\boxed{\mathbf{a}_\parallel=\mathbf{v}\dfrac{w^0}{v^2\gamma^4}}\qquad\mathbf{a}_\perp=\dfrac{\boldsymbol{w}^i}{\gamma^2}-\mathbf{v}\dfrac{w^0}{v^2\gamma^2}=\boxed{\gamma^{-2}\left(\boldsymbol{w}^i-\mathbf{v}\dfrac{w^0}{v^2}\right)}$$

Теперь мы можем воспользоваться преобразованиями Лоренца для 4-вектора $w^\mu$ (запишем скорость преобразования Лоренца через $\mathbf{V}$ и $\gamma_{{}_V},$ её не стоит путать со скоростью движения частицы $\mathbf{v}$):

$$\begin{align}w'^0&=\gamma_{{}_V}(w^0-\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)\\\boldsymbol{w}'^i&=\gamma_{{}_V}(\boldsymbol{w}^i_{\parallel V}-\mathbf{V}w^0)+\boldsymbol{w}^i_{\perp V}=\gamma_{{}_V}\left(\dfrac{\mathbf{V}(\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)}{V^2}-\mathbf{V}w^0\right)+\boldsymbol{w}^i-\dfrac{\mathbf{V}(\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)}{V^2}\\u'^0&=\gamma'=\gamma_{{}_V}(u^0-\mathbf{V}\boldsymbol{u}^i)=\gamma_{{}_V}\gamma(1-\mathbf{V}\mathbf{v})\\\boldsymbol{u}'^i&=\mathbf{v}'\gamma'=\gamma_{{}_V}(\boldsymbol{u}^i_{\parallel V}-\mathbf{V}u^0)+\boldsymbol{u}^i_{\perp V}=\gamma_{{}_V}\gamma(\mathbf{v}_{\parallel V}-\mathbf{V})+\gamma\mathbf{v}_{\perp V}\end{align}$$

Теперь можно всё подставить по цепочке: $\mathbf{a}\to w^\mu\to w'^\mu\to\mathbf{a}'.$ Что-то я уже устал...

[Sicker]

Спасибо!

[Sicker]

а кстати, каким определением ускорения вы пользуетесь? Под $a$ вы имеете ввду собственное ускорение?-или обычное Ньютоновское?
они связаны соотношением
$a(Newton)=a(Ainstain)\cdot(1-V^2)^{\frac{3}{2}}$

[Munin]

Нету никакого такого соотношения.

Под ускорением $\mathbf{a}$ я имею в виду $\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},$ как и везде. "Собственное ускорение" - это ускорение, пересчитанное по всем этим формулам в собственную систему отсчёта. При этом, кстати, происходит существенное упрощение, поскольку становится ясно, что $\mathbf{v}=\mathbf{V},$ и можно кое-что посокращать. Я, пожалуй, даже доведу до ответа в этом частном случае.

Munin в сообщении #755820 писал(а):

$$\begin{align}w'^0&=\gamma_{{}_V}(w^0-\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)\\\boldsymbol{w}'^i&=\gamma_{{}_V}(\boldsymbol{w}^i_{\parallel V}-\mathbf{V}w^0)+\boldsymbol{w}^i_{\perp V}=\gamma_{{}_V}\left(\dfrac{\mathbf{V}(\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)}{V^2}-\mathbf{V}w^0\right)+\boldsymbol{w}^i-\dfrac{\mathbf{V}(\mathbf{V}\boldsymbol{w}^i)}{V^2}\\u'^0&=\gamma'=\gamma_{{}_V}(u^0-\mathbf{V}\boldsymbol{u}^i)=\gamma_{{}_V}\gamma(1-\mathbf{V}\mathbf{v})\\\boldsymbol{u}'^i&=\mathbf{v}'\gamma'=\gamma_{{}_V}(\boldsymbol{u}^i_{\parallel V}-\mathbf{V}u^0)+\boldsymbol{u}^i_{\perp V}=\gamma_{{}_V}\gamma(\mathbf{v}_{\parallel V}-\mathbf{V})+\gamma\mathbf{v}_{\perp V}\end{align}$$

Вот эта хренотень начинает выглядеть так:

$$\begin{align}u'^0&=\gamma(u^0-\mathbf{v}\boldsymbol{u}^i)=\gamma^2(1-\mathbf{v}^2)\equiv 1\\\boldsymbol{u}'^i&=\gamma(\boldsymbol{u}^i_{\parallel}-\mathbf{v}u^0)+\boldsymbol{u}^i_{\perp}=\gamma^2(\mathbf{v}-\mathbf{v})+\mathbf{0}\equiv\mathbf{0},\end{align}$$

и соответственно,

$$\begin{align}w'^0&=\gamma(w^0-\mathbf{v}\boldsymbol{w}^i_{\parallel})=\gamma(va_\parallel\gamma^4-\mathbf{v}\mathbf{a}_\parallel\gamma^4)\equiv 0\\\boldsymbol{w}'^i&=\gamma(\boldsymbol{w}^i_{\parallel}-\mathbf{v}w^0)+\boldsymbol{w}^i_{\perp}=\gamma(\mathbf{a}_\parallel\gamma^4-\mathbf{v}va_\parallel\gamma^4)+\mathbf{a}_\perp\gamma^2=\gamma^5(1-v^2)\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp\gamma^2=\\&=\mathbf{a}_\parallel\gamma^3+\mathbf{a}_\perp\gamma^2\\\mathbf{a}'_\parallel&=\mathbf{a}_\parallel\gamma^3\\\mathbf{a}'_\perp&=\mathbf{a}_\perp\gamma^2\end{align}$$

(параллельная и перпендикулярная части определяются по отношению к вектору $-\mathbf{v},$ а не $\mathbf{v}'=0,$ очевидно). Где-то я в итоге наврал, потому что ответ должен быть, я помню, $\mathbf{a}_\parallel\gamma^3$ и $\mathbf{a}_\perp\gamma$ в первой степени, но это неважно. Техника тут простая, главное, чисто описок не наделать. И главный результат, подчеркну, тот, что соотношение ускорения в лабораторной системе, и "собственного" ускорения, зависит от направления ускорения, и является сочетанием двух соотношений: для поперечного ускорения и для продольного.

Ну а что такое $w^\mu,$ это у Ландау и Лифшица сказано, и я переписал.

[Sicker]

Яяяясно

Цитата:

Нету никакого такого соотношения

а какая тогда формула связывает ускорение тела в нашей ИСО с собственным ускорением тела?
Буква

Цитата:

d

означает бесконечно малую разность, вы берете разность по правилу вычитания скоростей в СТО или по обычному векторному?

[Munin]

Sicker в сообщении #756374 писал(а):

а какая тогда формула связывает ускорение тела в нашей ИСО с собственным ускорением тела?

Я же её вывел. Вы что, формулы не читаете?

Sicker в сообщении #756374 писал(а):

Буква d означает бесконечно малую разность, вы берете разность по правилу вычитания скоростей в СТО или по обычному векторному?

В каком именно месте?

[Sicker]

Цитата:

Я же её вывел. Вы что, формулы не читаете?

читаю, но с трудом разбираюсь
а для одномерного случая эта формула совпадает с вашей?

Цитата:

В каком именно месте?

вот-

Цитата:

Под ускорением $\mathbf{a}$ я имею в виду $\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2},$ как и везде.

догадываюсь что речь идет об обычной векторной разности, вопросов нет!

[Munin]

Sicker в сообщении #756405 писал(а):

читаю, но с трудом разбираюсь

Хорошо, я готов помогать.

Sicker в сообщении #756405 писал(а):

а для одномерного случая эта формула совпадает с вашей?

Да. Только:
- "собственное ускорение" - это не "эйштейновское". Эйнштейновские - все они.
- фамилия Эйнштейна пишется Einstein. В немецком языке ei произносится как "ай".