Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

Немножко в сторону от конкурсной задачи...
Radko Nachev вчера прислал письмо, рассказал о своём замечательном оригинальном квадрате. Это тоже дьявольский квадрат, только не аддитивный, а мультипликативный; то есть в этом квадрате не суммы считаются по строкам, столбцам и всем диагоналям, а произведения. И все произведения в строках, столбцах и диагоналях (главных и разломанных) равны одному и тому же числу.

Этот квадрат поместили на известном сайте.

Цитата:

New best known 6x6 pandiagonal multiplicative magic square, by Radko Nachev, and updated table of best known pandiagonal multiplicative magic squares

1 36 600 80 120 225
300 1800 3 5 144 40
200 4 360 150 15 72
45 30 16 3600 100 6
720 25 90 12 2 1200
24 240 50 18 900 10

Вот такие ещё есть дьявольские квадраты

[Nataly-Mak]

Неутомимый Jarek уже обновил результат(ы)

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 17 Aug 2013 03:07

Поразительно у него программа работает, всё находит и находит новые решения.

Появился 33-й участник (США), ну, это, наверное, из тех, кто просто отметился на конкурсе.
Скажет тоже: "Я участвовал в международном конкурсе программистов"

svb
может, вы всё же немного поучаствуете?
У вас, в отличие от многих отметившихся, скопировавших готовые решения из Интернета, есть авторские решения. Для N=6,7 точно помню, что есть решения.
Возможно, вы уже и ещё нашли несколько решений, но вот вводить не хотите на конкурс. За вами часто такое наблюдается

-- Сб авг 17, 2013 07:55:58 --

Pavlovsky в сообщении #754029 писал(а):

Предел моих мечтаний удержаться на уровне 6.00 балла.

"Предел мечтаний" достигнут

Цитата:

6 6.24 Valery Pavlovsky Ekaterinburg, Russia 16 Aug 2013 20:04

Теперь можно и о большем помечтать

[Pavlovsky]

Совместными усилиями мы разгадали алгоритм Jarek Wroblewski. Вот только отыграть двухмесячную фору невозможно. А мне с моей тормознутой платформой программирования влезать в эту гонку вообще нет смысла. Так что потихоньку завершаю соревнования.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
что-то вы рано складываете оружие, побороться за 3-4 место вполне реально.

Конечно, победить лидера сложно; сенсации, скорее всего, не будет.
Я бы пофантазировала о сенсации, но лучше не буду: фантазиям здесь не место.

[Nataly-Mak]

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 17 Aug 2013 03:07
2 10.14 Dmitry Kamenetsky Adelaide, Australia 16 Aug 2013 07:32
3 7.54 Dmitry Ezhov Sterlitamak, Russia 16 Aug 2013 17:04
4 7.08 Wes Sampson La Jolla, California, United States 13 Jul 2013 01:27
5 6.27 Tristrom Cooke Adelaide, Australia 12 Aug 2013 22:48
6 6.25 Valery Pavlovsky Ekaterinburg, Russia 17 Aug 2013 06:59

Ну и вот! 5-ое место совсем близко, если учесть, что Tristrom Cooke не активен последние 5 дней.
А потом - догоним и перегоним Америку (участник давным-давно перестал обновлять результаты)
У dmd же получилось.
Конечно, и американец, и австралиец могут ещё что-то добавить, не исключено.

[Nataly-Mak]

Интересно, а почему в альтернативной таблице у Jarek не хватает сотки?

Цитата:

1 14.99 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 17 Aug 2013 03:07
2 9.34 Dmitry Kamenetsky Adelaide, Australia 16 Aug 2013 07:32
3 7.18 Dmitry Ezhov Sterlitamak, Russia 17 Aug 2013 17:08
4 7.12 Wes Sampson La Jolla, California, United States 13 Jul 2013 01:27
5 6.26 Valery Pavlovsky Ekaterinburg, Russia 17 Aug 2013 06:59

У меня такая версия: кто-то вперёд ввёл оптимальное решение для N=6.

[Nataly-Mak]

Нравится мне конкурсант из Италии

Цитата:

16 3.69 Maurizio Morandi Sassuolo, Italy 18 Aug 2013 07:21

Похоже, он не пошёл по лёгкому пути (готовые решения из Интернета).

Коллеги! Кто устал от конкурсной задачи, посетите, пожалуйста, тему "Антимагические квадраты". Чтобы не загромождать эту тему, я с квадратами Стенли ушла туда (тема и посвящена этим квадратам).
Сейчас представляю общие формулы ассоциативных квадратов Стенли, начиная с порядка $n=2$. Буду признательна за любые замечания по существу вопроса.

[Nataly-Mak]

Не забываю следить за новыми результатами

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 18 Aug 2013 18:30
3 7.57 Dmitry Ezhov Sterlitamak, Russia 18 Aug 2013 19:06
5 6.45 Valery Pavlovsky Ekaterinburg, Russia 18 Aug 2013 15:12

М-о-л-о-д-ц-ы

[dimkadimon]

Pavlovsky, вот количество разных квадратов с S=0 используя цифры 0, +1 и -1.

N=4: 16
N=5: 50
N=6: 216
N=7: 294
N=8: 960
N=9: 972
N=10: 2800
N=11: 2420
N=12: 6480
N=13: 5070 (почему то думал что их больше)

Я считаю все возможные варианты, а не только восьми-угольники. Вот примеры для N=7:

(0,0,0,0,0,0,0),
(1,-1,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0),
(-1,1,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,-1,0,1,0),
(0,0,0,1,0,-1,0)

(0,0,0,0,0,0,0),
(0,1,-1,0,0,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,0,1,0,-1),
(0,0,0,0,-1,0,1),
(0,0,0,0,0,0,0),
(0,-1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,-1,1,0,0),
(0,0,0,0,0,0,0),
(0,1,0,0,0,0,-1),
(0,-1,0,0,0,0,1),
(0,0,0,0,0,0,0),
(0,0,0,1,-1,0,0)

Вот все 16 квадратов для N=4:

(Оффтоп)

(1,0,0,-1),
(-1,0,0,1),
(0,1,-1,0),
(0,-1,1,0)

(1,-1,0,0),
(0,0,1,-1),
(0,0,-1,1),
(-1,1,0,0)

(1,0,0,-1),
(0,-1,1,0),
(0,1,-1,0),
(-1,0,0,1)

(-1,1,0,0),
(1,-1,0,0),
(0,0,1,-1),
(0,0,-1,1)

(0,1,-1,0),
(-1,0,0,1),
(1,0,0,-1),
(0,-1,1,0)

(-1,1,0,0),
(0,0,-1,1),
(0,0,1,-1),
(1,-1,0,0)

(0,-1,1,0),
(0,1,-1,0),
(-1,0,0,1),
(1,0,0,-1)

(0,0,1,-1),
(1,-1,0,0),
(-1,1,0,0),
(0,0,-1,1)

(0,-1,1,0),
(1,0,0,-1),
(-1,0,0,1),
(0,1,-1,0)

(0,0,-1,1),
(0,0,1,-1),
(1,-1,0,0),
(-1,1,0,0)

(-1,0,0,1),
(0,1,-1,0),
(0,-1,1,0),
(1,0,0,-1)

(0,0,-1,1),
(-1,1,0,0),
(1,-1,0,0),
(0,0,1,-1)

(-1,0,0,1),
(1,0,0,-1),
(0,-1,1,0),
(0,1,-1,0)

(1,-1,0,0),
(-1,1,0,0),
(0,0,-1,1),
(0,0,1,-1)

(0,1,-1,0),
(0,-1,1,0),
(1,0,0,-1),
(-1,0,0,1)

(0,0,1,-1),
(0,0,-1,1),
(-1,1,0,0),
(1,-1,0,0)

Кто может подтвердить или опровергнуть эти результаты?

[Nataly-Mak]

Вопрос ко всем:
много ли будет таких квадратов (с 8 единичками и нулевой магической константой) 11-го порядка не только пандиагональных, но ещё и ассоциативных, то есть идеальных?
Например, такой квадрат 4-го порядка из сообщения dimkadimon

(-1,1,0,0),
(1,-1,0,0),
(0,0,1,-1),
(0,0,-1,1)

является идеальным.

Сейчас у меня задача возникла об идеальном квадрате 11-го порядка из различных простых чисел. Готовлю её, чтобы выложить.
Такой квадрат ещё не найден ни с какой магической константой, не говоря уж о наименьшей. Идеальные квадраты 7-го и 9-го порядка, как я уже сообщала, найдены alexBlack, но их минимальность не доказана. Наименьший идеальный квадрат 5-го порядка найден мной

113 1151 1229 911 101
839 521 41 1013 1091
941 953 701 449 461
311 389 1361 881 563
1301 491 173 251 1289

магическая константа равна 3505, константа ассоциативности равна 1402.

[dimkadimon]

Nataly-Mak в сообщении #755889 писал(а):

много ли будет таких квадратов (с 8 единичками и нулевой магической константой) 11-го порядка не только пандиагональных, но ещё и ассоциативных, то есть идеальных?

Для нечётных N таких квадратов вообще нет, я проверил. Наверно это можно доказать.

[Nataly-Mak]

Вот этого я и боялась.
Попробовала сама на листе бумаги сочинить такой квадрат 11-го порядка, не получилось.
Как доказать, что не существует таких квадратов, не знаю.

А с бОльшим количеством единичек (>8) можно такой квадрат сочинить?

[Pavlovsky]

dimkadimon в сообщении #755888 писал(а):

Кто может подтвердить или опровергнуть эти результаты?

Может не очень быстро, но обязательно проверю. Я подсчитывал количество так. Рассмотрел все преобразования Россера. Различные квадраты дают перенос на торе и альфа-преобразование. Видать чего то не учел.

Последняя колонка мои расчетные данные:

N=4: 16 32
N=5: 50 100
N=6: 216 72
N=7: 294 294
N=8: 960 256
N=9: 972 486
N=10: 2800 400
N=11: 2420 1210
N=12: 6480 576
N=13: 5070 2028

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #755892 писал(а):

А с бОльшим количеством единичек (>8) можно такой квадрат сочинить?

Сочинила идеальный квадрат для $n=7$ с 14 единичками и нулевой магической константой:

1 0 0 0 -1 0 0
0 0 -1 0 0 1 0
-1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0 1
0 -1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 -1

Аналогично можно сделать и квадрат 11-го порядка с 22 единичками.

Вопрос к знатокам борьбы с дырками: такими квадратами, в которых больше 8 единичек, тоже ведь можно с дырками бороться
Зато они будут превращать идеальные квадраты в идеальные, не нарушая ни пандиагональности, ни ассоциативности.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #755899 писал(а):

Вопрос к знатокам борьбы с дырками: такими квадратами, в которых больше 8 единичек, тоже ведь можно с дырками бороться

Подобрать добавляемую константу, чтобы в 8-ми ячейках получились простые числа это вполне реально. А вот когда 22 единички, то это уже становится маловероятным событием.