Предпочел бы отмолчаться потому что неспециалист, но вижу - из них никто не отвечает. Потому прошу строго не судить ...
С методом форсинга близко не знаком - только
ОЧЕНЬ понаслышке, поэтому действительно будет "на пальцах". Если не в тему - не обессудьте.
Пусть задана система аксиом {

} и теория

основанная на них (как правило это ZFC или некоторое расширение ZFC). Нам нужно доказать что высказывание

не противоречит
Вывести

из {

} "в лоб" не получается. Тогда присоединяем это высказывание

в качестве дополнительной аксиомы к нашей системе. Далее "задачка для детсада" : показываем что расширенная система аксиом {

} не содержит противоречий. Причем доказываем это средствами первоначальной теории

.
Если не ошибаюсь, методом форсинга была показана независимость Континуум Гипотезы.
При наличии английского можно глянуть сюда :
http://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)