Вариационные принципы, гамильтоновы системы и т.д.

[Oleg Zubelevich]

У меня по нескольким последним обсуждениям складывается впечатление, что физики (местные во всяком случае) склонны придавать вариационным принципам некоторый метафизический смысл.
Да, понятно, что вариационные принципы носят фундаментальный характер, являются очень сильным аппаратом при построении математических моделей, они универсальны в известном смысле. Гамильтоновы системы это очень красивая теория и т.д. и т.п. Все это понятно.
Рассмотрим маятник Капицы. Для доказательства устойчивости верхнего положения этого маятника требуется КАМ теория. Т.е. это весьма нетривиальный факт, недоступный математикам первой половины 20 века. Но если вспомнить, что маятник находится в атмосфере или что идеальных шарниров не бывает (отказаться тем самым от гамильтонеовости), как задача резко упрощается. В "диссипативной" постановке устойчивость маятника доказывается элементарно с помощью теоремы Ляпунова.
Выходит, что в данной задаче гамильтоновость соответствует некоторой вырожденности модели, которая не упрощает, а усложняет анализ.

Вообще (это уже в сторону) ситуация, когда слишком сильная идеализация задачи порождает фантомные проблемы, встречается не так редко. Например, знаменитая миллион-долларовая задача об уравнении Навье-Стокса.
Стоит приблизить модель к реальности и отказаться от условия несжимаемости жидкости, заменив его уравнениями термодинамики+уравнение состояния (подробности см. Седов МСС), как проблема рассасывается сама собой: в ряде случаев решения с ударными волнами даже выписываются явно.

[Munin]

Вы заблуждаетесь, полагая, что маятник Капицы интересен как механическая система. Механика вообще физикам неинтересна. Механические модели (гамильтоновы, лагранжевы) интересны исключительно постольку, поскольку на их языке могут быть изложены другие разделы физики: теория поля, квантовая механика, квантовые статистические системы (включая твёрдое тело), оптика, квантовые поля и элементарные частицы. Единственная "диссипативная" область из них - это гидродинамика.

Так что проблемы "бездиссипативной" постановки задачи - отнюдь не фантомные.

Ударные волны проблем гидродинамики, увы, не решают. Проблематичность Навье-Стокса лежит в другой области (турбулентность), которая указанным вами подходом не берётся. Впрочем, это действительно прежде всего физическая проблема, и если вы сумеете достичь успеха, отказавшись от идеализации, все вам будут благодарны. Но нахрапом эту проблему не взять.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #754440 писал(а):

Ударные волны проблем гидродинамики, увы, не решают. Проблематичность Навье-Стокса лежит в другой области (турбулентность),

Проблематичность Навье-Стокса в бездивиргентной постановке, Munin, формулируется следующим образом: Существуют ли слабые решения (они называются турбулентными), которые не являются сильными. Так вот если отказаться от условия бездивиргентности, то , как я уже писал, появляются решения с ударными волнами, это как раз пример слабого решения, которые не является сильным.

Munin в сообщении #754440 писал(а):

Вы заблуждаетесь, полагая, что маятник Капицы интересен как механическая система

я этого не утверждал, это только пример

Munin в сообщении #754440 писал(а):

Впрочем, это действительно прежде всего физическая проблема

а вот я как раз думаю, что наоборот. Это чисто математическая проблема, надуманная, которая снимается естественным изменением модели. Разумеется, я имею в виду конкретную задачу (см http://www.claymath.org/millennium/Navi ... stokes.pdf) ,а не общую философию про "турбулентность"

(Оффтоп)

Уравнение Навье-Стокса в бездивиргентной постановке обладает рядом действительно странных свойств, которые наводят на мысль о том, что модель неудачна. Например, известно, что при достаточно регулярных начальных данных, решение оказывается голоморфным по всем переменным на малом промежутке времени. А если вязкость достаточно велика, то и глобально по времени. Т.е. возмущение распространяется по среде мгноваенно.

-- Вт авг 13, 2013 16:11:45 --

Munin в сообщении #754440 писал(а):

Так что проблемы "бездиссипативной" постановки задачи - отнюдь не фантомные.

видимо, где-то фантомные, где-то нет. пафос моего выступления состоит лишь в том, что не надо возводить вариационные принципы в абсолют, природа разнообразней.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #754468 писал(а):

я этого не утверждал, это только пример

Пример, призванный проиллюстрировать что?

Приведите немеханический пример.

Oleg Zubelevich в сообщении #754468 писал(а):

пафос моего выступления состоит лишь в том, что не надо возводить вариационные принципы в абсолют, природа разнообразней.

Этот пафос устарел на 100 с лишним лет. Как раз примерно на протяжении этого промежутка физика всё время открывает, что природа однообразней, чем до этого казалось. И вся в вариационные принципы укладывается, да ещё и с запасом.

Ну и вообще, призывать отказываться от унификации научных подходов и инструментов, где эта унификация приносит реальные плоды, - несколько... контрконструктивно.

[Sicker]

А я вообще считаю, что вариационные принципы(а также лагранджевы и гамильтоновы системы) абсолютно безыдейны и не привнесли в физику ничего нового
потому что под абсолютно любой закон природы в абсолютно любой системе можно изловчиться подобрать лаграджиан, который бы минимазировал действие
те это такой же принцип как и "система движется так, потому что она движется так"
а то что существуют неголоморфные системы , не описывающиеся этими лаграджианами еще более указывает на факт убожества лаграджевого формализма

См. http://dxdy.ru/post754526.html#p754526 -- Aer

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #754482 писал(а):

Приведите немеханический пример.

из механики жидкости подойдет?
Уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости (они как раз вариационной природы), теже проблемы с существованием решения.

Munin в сообщении #754482 писал(а):

Ну и вообще, призывать отказываться от унификации научных подходов и инструментов, где эта унификация приносит реальные плоды, - несколько... контрконструктивно.

я не призываю отказываться от унификации, я призываю не догматизировать вопрос.

-- Вт авг 13, 2013 16:49:17 --

Sicker в сообщении #754487 писал(а):

неголоморфные

Sicker в сообщении #754487 писал(а):

а то что существуют неголоморфные системы , не описывающиеся этими лаграджианами еще более указывает на факт убожества лаграджевого формализма

ну начинается е-мое
все, Munin, я из ветки сваливаю, тут сейчас бардак пойдет

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #754489 писал(а):

из механики жидкости подойдет?

Нет, всё-таки немеханический вообще. По механике жидкости я позвал специалиста, а себя чувствую не вправе её обсуждать.

Oleg Zubelevich в сообщении #754489 писал(а):

я не призываю отказываться от унификации, я призываю не догматизировать вопрос.

Никто его и не догматизирует. Есть успехи - ими пользуются. Начнутся трудности - скинут с поезда. Легко. В середине 20 века попытки уже были, и даже несколько. Но оказалось, не надо было.

Oleg Zubelevich в сообщении #754489 писал(а):

все, Munin, я из ветки сваливаю, тут сейчас бардак пойдет

Э нет. Взялись - отвечайте. Почувствуйте ответственность за разведение бардака.

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #754334 писал(а):

Рассмотрим маятник Капицы.

Возможно, здесь только я его реализовывал - для сына.
Тогда у меня была вибрационная бритва, и два устойчивых цикла были наглядны.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #754493 писал(а):

Нет, всё-таки немеханический вообще.

по другим разделам физики я не рискну высказываться

Munin в сообщении #754493 писал(а):

Никто его и не догматизирует.

ну вот по постам на этом форуме ( с чего я и начал) создается впечатление, что народ уравнения Лагранжа вне вариационного принципа просто не хочет видеть в упор.

nikvic в сообщении #754500 писал(а):

зможно, здесь только я его реализовывал - для сына.
Тогда у меня была вибрационная бритва, и два устойчивых цикла были наглядны.

всегда мечтал увидеть эту штуку живьем

[Aer]

Sicker в сообщении #754487 писал(а):

А я вообще считаю, что вариационные принципы(а также лагранджевы и гамильтоновы системы) абсолютно безыдейны и не привнесли в физику ничего нового
потому что под абсолютно любой закон природы в абсолютно любой системе можно изловчиться подобрать лаграджиан, который бы минимазировал действие
те это такой же принцип как и "система движется так, потому что она движется так"
а то что существуют неголоморфные системы , не описывающиеся этими лаграджианами еще более указывает на факт убожества лаграджевого формализма

Sicker, замечание за пропаганду безграмотности и невежества, отрицание достижений науки.

На заметку: Лагранж, лагранжиан.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #754509 писал(а):

по другим разделам физики я не рискну высказываться

Спасибо. Тогда давайте договоримся, что ваш пафос механикой и ограничивается. Хорошо?

Oleg Zubelevich в сообщении #754509 писал(а):

ну вот по постам на этом форуме ( с чего я и начал) создается впечатление, что народ уравнения Лагранжа вне вариационного принципа просто не хочет видеть в упор.

Ну, в теорфизике (вне механики) они так и ходят друг с дружкой под ручку неотрывно. А вы чего хотели? И более того, именно через вариационный принцип идут мостики к другим матаппаратам, которых из уравнений Лагранжа не выведешь: прежде всего, к релятивистски-инвариантной теории поля, и к квантовому интегралу по траекториям (фейнмановскому интегралу по траекториям, ФИТ, Feynman path integral). (Квантование само по себе, например, каноническое, можно проделать и без вариационного принципа.)

[fizeg]

Просто ваш пафос касается области, которой вы судя по всему занимаетесь профессионально, но которая современным физикам интересна либо для развлечения, либо как этап в изучении более фундаментальных вещей. В последнем случае естественно на первый этап выходит связь с этими самыми фундаментальными идеями, а как было уже сказано лагранжев и гамильтонов формализм это мосты в квантовую теорию. Пожалуй вся "метафизичность" у них только в этом. Как правило физики довольно-таки прагматично и цинично относятся к чему-либо, к метафизическим смыслам я видел больше склонности у математиков. Отслеживание всяких идеализаций в физике идет активно.

[Oleg Zubelevich]

ну, я, конечно, не физик по образованию, но то в чем Вы меня тут с Munin пытаетесь убедить, что диссипация бывает только в классической механике (включая гидродинамику), а все остальные системы гамильтоновы, это выглядит старнно. вот у меня нотбук нагревается, а тут оказывается потерь энергии не бывает вообще никогда.

[fizeg]

Oleg Zubelevich
О... этого я не утверждаю. Совсем. Для открытых квантовых систем (включая диссипативные) вполне себе модели существуют и используются. Насколько я знаю, самый простой путь - цепляют систему к термостату и затем берут след по состояниям этого самого термостата (в формализме матрицы плотностей) Т.е. все равно предполагая некоторую фундаментальность гамильтонова описания. Впрочем я этими вещами в деле не занимался

[Oleg Zubelevich]

так я ведь не спорю с фундаментальностью, Вы посмотрите по ветке , что я писал:

Oleg Zubelevich в сообщении #754334 писал(а):

Да, понятно, что вариационные принципы носят фундаментальный характер

но

Oleg Zubelevich в сообщении #754468 писал(а):

не надо возводить вариационные принципы в абсолют, природа разнообразней.