Пересечение прямой с плоскостью

[BENEDIKT]

Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

Пусть $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, $CD$ лежит в плоскости $\beta$. Прямая $AC$ имеет с плоскостями $\alpha$ и $\beta$ общие точки, соответственно, $A$ и $C$. Прямая $BD$ имеет с плоскостями $\alpha$ и $\beta$ общие точки $B$ и $D$ соответственно. Очевидно, что $AC$ и $BD$ не лежат на $\alpha$ и не лежат на $\beta$, так как каждая из названных прямых имеет с каждой из указанных плоскостей лишь по одной общей точке.
Далее не продвинулся. Каким образом можно доказать, что плоскости $\alpha_1$ и $\beta_1$, на которых лежат, соответственно, $AC$ и $BD$, различны?

[Oleg Zubelevich]

прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда когда векторы $\overline{AB},\overline{CD},\overline{AC}$ линейно зависимы.
Теперь примените это же соображение для прямых $AC$ и $BD$

[BENEDIKT]

А можно ли решить это без векторов, используя лишь свойства пересечения прямой с плоскостью?

[Someone]

Уж тут подсказывать-то как-то боязно, сразу доказательство получается.

Предположим, что $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости. Что тогда можно сказать о точках $A$, $B$, $C$ и $D$?

[BENEDIKT]

Очевидно, тогда все указанные точки лежат в одной плоскости, а значит, прямые $AB$ и $CD$ также лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Это уже можно считать доказательством?

[Someone]

Ну, сошлитесь на аксиомы.

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #754231 писал(а):

Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

Перейдите к противоположному к обратному и докажите: если прямые AC и BD лежат в одной плоскости, то прямые AB и CD также лежат в одной плоскости. Это сильно надо доказывать?...

[provincialka]

Пусть две прямые не лежат в одной плоскости, идея, что они при этом лежат на разных плоскостях мало продуктивна. Эти плоскости определяются неоднозначно. Даже если две прямые лежат на одной плоскости, можно подобрать $\alpha и $\beta$ так, чтобы на каждой лежало ровно по одной из данных прямых. Так что условие задачи теряется.

[BENEDIKT]

Благодарю всех за помощь.