два диска

[Oleg Zubelevich]

Однородный диск A радиуса $r$ и массы $m$ может без трения вращаться вокруг своего неподвижного центра. На него намотана невесомая нерастяжимая нить, другой конец которой намотан на диск B массы $M$ и того же радиуса. Нить не проскальзывает по дискам.
Систему отпускают без начальной скорости из положения показанного на рисунке. Найти угловые скорости дисков как функции времени.

[nikvic]

(Оффтоп)

Ну прям Йо-Йо-Йо

[ewert]

Очевидно,

$$\omega_1'=\dfrac{I_2I_0}{I_1I_0+I_2I_0+I_1I_2}\cdot\dfrac{g}{R}, \quad \omega_2'=-\dfrac{I_1I_0}{I_1I_0+I_2I_0+I_1I_2}\cdot\dfrac{g}{R}, \quad \text{где} \quad I_0\equiv MR^2.$$

А почему именно здесь?...

[Oleg Zubelevich]

э-хе-хе...
опять Вы, ewert
, в своей манере:

ewert в сообщении #751592 писал(а):

Очевидно,

ewert в сообщении #751592 писал(а):

А почему именно здесь?...

а почему Вы именно эту задачу выбрали, а не эту topic74671.html ?

[ewert]

$\begin{cases}I_1\omega_1'=NR;\\I_2\omega_2'=-NR;\\Mx''=Mg-N;\\x'=R\omega_1-R\omega_2.\end{cases}$

Это что, не очевидно?... А далее вообще лишь тупая арифметика в два действия, и ни одного дифура.

Насчёт другой задачки не знаю (там, в отличие от этой, думать надо, что лень). Интуитивно кажется, что колебания в любом случае останутся. Поскольку по мере приближения к положению равновесия угловое затухание никак не препятствует радиальным колебаниям, которые к этому времени остались бы. И совершенно непонятно, за счёт чего они могли бы исчезнуть (ведь при ненулевых углах вращение будет индуцировать и те или иные колебания). Но это я так, навскидку; вполне возможно, что и заблуждаюсь.

(Оффтоп)

Ещё один отвращающий меня момент -- физическая неестественность затухания именно углового. А поначалу мне вообще почудилось, что там речь шла о двумерном маятнике, над которым мне даже и задумываться не захотелось.

[Oleg Zubelevich]

Так я и не говорю, что задача сложная, она банальная, хотя для этого форума две степени свободы -- уже много. Я только недоумеваю, почемы Вы для демонстрации своих тугих мускул подыскиваете наиболее тривальные задачи

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #751961 писал(а):

Я только недоумеваю, почемы Вы для демонстрации своих тугих мускул подыскиваете наиболее тривальные задачи

А потому что я недоумел, зачем она тривиальна именно в том разделе.

Хотя, конечно, что считать олимпиадностью -- дело вкуса. Кому арбуз, кому хрящик.

[dovlato]

Я не понял, почему у ewert сила натяжения $N$ в обоих уравнениях положена одной и той же.
Я такие задачи решаю чисто энергетически:

$$d( \mu V^2/2)+MgVdt=0$$

где

$$\mu=I_1/R_1^2+I_2/R_2^2+m$$

m - масса всей нити (в т.числе намотанной на оба ролика). Отсель:

$$dV/dt=-Mg/\mu$$

По-моему, для хорошего школьника подойдёт.

[Oleg Zubelevich]

ничаво нипонял

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #754045 писал(а):

ничаво нипонял

Прошу прощения, я вполглаза посмотрел и решил другую задачу - когда обе оси фиксированы, зато цепь - тяжёлая. Ещё раз sorry.
Кстати, диски и, в частности, их радиусы могут быть почти любыми - лишь бы их плотность зависела только от расст. от их оси.