Соотношения неопределенностей и теорема Нётер?

[diletto]

Сохранение энергии есть следствие инвариантности относительно сдвига по времени, а энергия и длительность связаны соотношением неопределенностей.
Сохранение импульса есть следствие инвариантности относительно сдвига по координате, а импульс и координата связаны соотношением неопределенностей.
Сохранение углового момента есть следствие инвариантности относительно поворота, а угловой момент и угол связаны соотношением неопределенностей.

Это случайность? Или имеется (известный всем профи) прямой математический вывод сопряженности соответствующих операторов из каких-то квантовых обобщений теоремы Нётер? Или "что-то в этом есть, но никто не знает, что именно"?

(Сразу признаюсь, что мое понимание этих материй можно считать соответствующим десятиклассному образованию, и то полузабытому :( )

[Maximpg]

diletto в сообщении #754025 писал(а):

Сохранение энергии есть следствие инвариантности относительно сдвига по времени, а энергия и длительность связаны соотношением неопределенностей.

Это немного не о том. Просто потому, что в квантовой механике нет оператора времени и соответствующей наблюдаемой, это параметр эволюции. То, что называют "соотношением неопределенностей" для энергии-времени не есть фундаментальное соотношение и может быть нарушено в некоторых схемах. Иными словами, в КМ энергию можно измерить достаточно точно за произвольно короткий период времени. Вообще, данное "соотношение" - миф, связанный с неправильной интерпретацией исходного результата.

diletto в сообщении #754025 писал(а):

Сохранение импульса есть следствие инвариантности относительно сдвига по координате, а импульс и координата связаны соотношением неопределенностей.

А это следует из тривиального наблюдения, что операторы координаты и производной по ней не коммутируют. Если вы обратите внимание, как вводится импульс в КМ, см., например Sakurai, Modern Quantum Mechanics или вот лекции Барабанова (http://theorphys.mipt.ru/biblio/qm-barabanov.html, часть 1 глава 12), то импульс получается из генератора трансляции волновой функции, то есть фактически из производной по координате. В случае угла будет то же самое, только трансляция по углу.

Надо отметить некоторое отличие от теоремы Нётер в сторону большей общности: автоморфизмы координат теперь не обязаны быть непрерывными, и соответствующие симметрии все равно будут отвечать сохраняющимся величинам. Пример - дискретное преобразование четности $\bf{x'}=-\bf{x}$, которой отвечает сохраняющаяся четность $P$ состояния.

[VladimirKalitvianski]

diletto в сообщении #754025 писал(а):

...Сохранение импульса есть следствие инвариантности относительно сдвига по координате, а импульс и координата связаны соотношением неопределенностей. ...

Это случайность? Или имеется (известный всем профи) прямой математический вывод сопряженности соответствующих операторов из каких-то квантовых обобщений теоремы Нётер? Или "что-то в этом есть, но никто не знает, что именно"?

Если Вы возьмете атом водорода, то в связанном состоянии электрон не будет иметь ни определенного и сохраняющегося импульса, ни координаты, а потенциальная энергия будет явно зависеть от координаты (нет инвариантности ни в классической, ни в квантовой механике).

Если потенциальную энергию занулить, то действительно, можно получить состояния с определенным и сохраняющимся импульсом. Координата тогда будет определяться "начальными данными".

[Munin]

diletto в сообщении #754025 писал(а):

Это случайность? Или имеется (известный всем профи) прямой математический вывод сопряженности соответствующих операторов из каких-то квантовых обобщений теоремы Нётер?

Всё ещё проще. Сама по себе сопряжённая переменная вводится так, что для него (при цикличности соответствующей переменной) выполняется теорема Нётер. Ну а раз переменные сопряжены - то и операторы сопряжены после квантования, и есть соотношение неопределённостей.

-- 12.08.2013 18:49:30 --

Maximpg в сообщении #754031 писал(а):

Просто потому, что в квантовой механике нет оператора времени и соответствующей наблюдаемой, это параметр эволюции.

Перейдите к представлению Гейзенберга.

[diletto]

Maximpg, Munin, спасибо. Вроде бы исчерпывающе.

[Maximpg]

Munin в сообщении #754171 писал(а):

Перейдите к представлению Гейзенберга.

Раскройте, пожалуйста, мысль подробнее. Что здесь меняет представление? Если вы имеете в виду подбор оператора с единичной производной по времени, то это, насколько знаю, не годится.

[Munin]

Maximpg в сообщении #754356 писал(а):

Раскройте, пожалуйста, мысль подробнее. Что здесь меняет представление?

Оператор времени становится полноценным оператором.

Maximpg в сообщении #754356 писал(а):

Если вы имеете в виду подбор оператора с единичной производной по времени, то это, насколько знаю, не годится.

Почему? И кстати, почему "подбор"?

[Maximpg]

Munin в сообщении #754453 писал(а):

Оператор времени становится полноценным оператором.

Хорошо, можете тогда выписать его явный вид? Никогда не встречал такого.

Munin в сообщении #754453 писал(а):

Почему? И кстати, почему "подбор"?

Я имею в виду изложенное в разделе 3.2 вот этой статьи
http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0609163v2.pdf
Но там правда в Шредингеровском.

[Munin]

Maximpg в сообщении #754469 писал(а):

Хорошо, можете тогда выписать его явный вид? Никогда не встречал такого.

$t$ (в координатном базисе; если хотите, можно перейти в частоты, $-i\hbar\tfrac{\partial}{\partial\omega}$). А что?

Другое дело, к чему его применять. К сохраняющейся в. ф. - довольно бессмысленно.

Maximpg в сообщении #754469 писал(а):

Я имею в виду изложенное в разделе 3.2 вот этой статьи http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0609163v2.pdf
Но там правда в Шредингеровском.

Если можно, давайте ссылку на абстракт, а не на PDF. Не все заинтересованные лица захотят сразу статью качать.

Статья какая-то странная. Спорит с хорошо установленными результатами, в частности, с теоремами. Так что, я бы не стал полагаться на неё безоговорочно.

А параграф 3.2, такое впечатление, написан при незнании ЛЛ-3 § 44.

[Maximpg]

Munin в сообщении #754490 писал(а):

написан при незнании ЛЛ-3 § 44.

Вот статья посерьёзнее (Ааронов-Бом).
http://prola.aps.org/abstract/PR/v122/i5/p1649_1

Цитата:

The main conclusion of Landau and Pierls, Landau and Lifschitz, and Fock and Krylov...that energy cannot be measured in a short time without introducing an uncertainty in value, represents a very widely accepted interpretation of the time-energy relation. This conclusion is, as we shall show, erroneous, the error being based in part on inadequate formulation of Bohr's point of view concerning measurement, and in part on the use of an illustrative example of a measurement process, that was not sufficiently typical of the general case of such a measurement. (In fact, in Sec. 4 we shall give a counterexample, in which the energy of a particle is measured to arbitrary accuracy in as short a time as we please)

И в конце приводится предлагаемый эксперимент. Сцепились зубры, а о результатах той схватки ни слуху ни духу, разве что ЛЛ будто ничего не заметил (никаких изменений с издания 1948). В общем, разбираться надо, по крайней мере мне.

(Оффтоп)

тема зажила, в общем-то, своей жизнью...

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #754490 писал(а):

Maximpg в сообщении #754469 писал(а):

Хорошо, можете тогда выписать его явный вид? Никогда не встречал такого.

$t$ (в координатном базисе; если хотите, можно перейти в частоты, $-i\hbar\tfrac{\partial}{\partial\omega}$). А что?

Другое дело, к чему его применять. К сохраняющейся в. ф. - довольно бессмысленно.

Я тоже не в курсе про оператор времени. У Вас $t$ это оператор времени чего, электрона? Как его понимать? Я не то чтобы против, но мне с измерением координаты электрона понятно, а с измерением времени электрона нет.

И что такое сохраняющаяся волновая функция? Бывают и другие?

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #754544 писал(а):

И что такое сохраняющаяся волновая функция? Бывают и другие?

Например, волновая функция распадающейся частицы. Она исчезает со временем. Причём именно для неё действителен наиболее широко употребимый способ использования $\Delta t\,\Delta E\sim\hbar$: $\Gamma=1/\tau,$ где $\tau$ - время жизни частицы, а $\Gamma$ - ширина её энергетического пика. Разумеется, то же самое верно для излучающих возбуждённых состояний атомов, ядер, молекул и т. п.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #754713 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #754544 писал(а):

И что такое сохраняющаяся волновая функция? Бывают и другие?

Например, волновая функция распадающейся частицы. Она исчезает со временем. Причём именно для неё действителен наиболее широко употребимый способ использования $\Delta t\,\Delta E\sim\hbar$: $\Gamma=1/\tau,$ где $\tau$ - время жизни частицы, а $\Gamma$ - ширина её энергетического пика. Разумеется, то же самое верно для излучающих возбуждённых состояний атомов, ядер, молекул и т. п.

Про распадающуюся систему я подумал как раз в смысле "уместности" "оператора времени" - так сказать, $t$ это момент распада в единичном событии.

Что касается переходов, то амплитуды состояний, конечно, меняются - одни состояния "обедняются", другие "населяются". Но как-то всё это было ясно и без оператора времени.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #754717 писал(а):

Но как-то всё это было ясно и без оператора времени.

Да вы талант! Может, и соотношение неопределённостей без оператора напишете?

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #754739 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #754717 писал(а):

Но как-то всё это было ясно и без оператора времени.

Да вы талант! Может, и соотношение неопределённостей без оператора напишете?

Если Вы имеете ввиду соотношение неопределенности для пары "время-энергия", то оно уже написано без операторов до меня. А недавно я слышал, что это соотношение было экспериментально преодолено с помощью сжатых состояний фотонов.