Почему эквивалентны лагранжианы

[warlock66613]

ИгорЪ, к сожалению я сейчас перечитал тему ещё раз, и, оказывается, моё озарение было ошибкой. У вас тоже выпала одна из координат. Надо думать дальше. Я очень извиняюсь, я не знаю как так получилось, что я ввёл себя и вас в заблуждение.

[fizeg]

На свежую голову я понял какой вопрос здесь ключевой для понимания
Всегда ли $\delta \dot{q}=\frac{d}{dt}\delta q$

[warlock66613]

fizeg, либо никогда, либо всегда, смотря как понимать $\delta \dot{q}$. Вроде так, но понимания пока не приходит.

[fizeg]

warlock66613
Замечательное мышление В конце концов, сделайте следующие простые вещи?
1). Расписываете вариацию $\int dt L\Bigl(q(t),\dot{q}(t),e(t),\dot{e}(t)\Bigr)$, где $q$ и $e$ независимы
2). Расписываете вариацию $\int dt L\Bigl(q(t),\dot{q}(t),e(t),\dot{e}[q](t)\Bigr)$, где $e[q](t)$ функционал от q
3). При каком условии одно эквивалентно другому?
4). Выполняется ли оно в общем случае (в частности для примеров, которые были здесь раньше)
5). Выполняется ли оно для лагранжиана не зависящего от $\dot{e}$ и вообще для любого случая, когда $e[q](t)=e\Bigl(q(t),\dot{q}(t),\ddot{q}(t)\Bigr)$

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #754611 писал(а):

сегда ли $\delta \dot{q}=\frac{d}{dt}\delta q$

а я вот тоже не понимаю, что значит левая часть этого равенства

[fizeg]

$\delta\Bigl(\frac{d}{dt}f\Bigr)=\frac{d}{dt}\Bigl(\delta f\Bigr)$
Где $f(t)$ вообще говоря функционал на пути. Надеюсь так все ясно ($q$ я, конечно, зря написал, смущает)

[Oleg Zubelevich]

нет , так тоже непонятно. Надо написать определение $\delta f(...):=$

[warlock66613]

fizeg, я обязательно проследую предложенным планом в ближайшее время.
Поясню свой ответ на "ключевой вопрос". Если $\delta \dot{q}:=\frac{d}{dt}\delta q$, то $\delta \dot{q}=\frac{d}{dt}\delta q$ всегда. Если $\delta \dot{q}$ - это вариация $\dot{q}$, причём $\dot{q}$ рассматривается как независимая переменная, то никогда (кроме возможно каких-то выколотых точек, или прямых, в общем, множества нулевой меры).

[fizeg]

Не, я пожалуй в этой теме все-таки нетерпеливый балда . Но поправлюсь. Проблема сидит почти-и-и-и там же. Но не там

1). Повторяем стандартный вывод

$\delta S=\int dt \left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial e}\delta e+\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}\delta\dot{e}\right]$

Затем мы пользуемся $\delta\frac{d}{dt}q=\frac{d}{dt}\delta q$,$\delta\frac{d}{dt}e=\frac{d}{dt}\delta e$, что позволяет, интегрируя по частям при закрепленных концах получить

$\delta S=\int dt \left[\Bigl(\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Bigr)\delta q+\Bigl(\partial L}{\partial e}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}\Bigr)\delta e\right]$

Что для независимых вариаций дает уравнения Лагранжа

2). Теперь считаем, что $e(t)=e[q](t)$ такое, что $\Bigl(\frac{\partial L}{\partial e}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}\Bigr)|_{e=e[q]}=0$

Вариация может быть расписана в схожем виде

$\delta S=\int dt \Bigl[\frac{\partial L}{\partial q}|_{e=e[q]}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}|_{e=e[q]}\delta\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial e}|_{e=e[q]}\delta e[q]+\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_{e=e[q]}\delta\dot{e}[q]\Bigr]$

Во-первых нам для следующего шага нужно $\delta\frac{d}{dt}e=\frac{d}{dt}\delta e$. Похоже это все-таки работает если не всегда, то довольно-таки часто. My bad...

Но есть другая проблема. Когда мы интегрируем по частям мы выбрасываем граничный член. Почему? Потому что на закрепленных концах вариация $q$ равна нулю. Но вообще говоря вариация $e[q](t)$ на концах равна нулю быть не обязана!
$ \delta S=\int dt \left[\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q}|_{e=e[q]}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}|_{e=e[q]}\Bigr)\delta q+\Bigl(\frac{\partial L}{\partial e}|_{e=e[q]}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_{e=e[q]}\Bigr)\delta e[q]\right]+\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_{e=e[q]}\delta e[q]\Big|_{t=t_0}^{t=t_1}$

Вспоминаем, что удовлетворяется уравнение на $e$

$\delta S=\int dt \Bigl(\frac{\partial L}{\partial q}|_{e=e[q]}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}|_{e=e[q]}\Bigr)\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_e=e[q]\delta e[q]\Big|_{t=t_0}^{t=t_1} $
Так что вся неэквивалентность сидит в этом самом граничном члене.

Если в лагранжиане нет производных $e$ он автоматически уходит. Но например в случае частицы на сфере мы имеем такую ситуацию

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}=0,\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\dot{e}}=\operatorname{const},\quad\dot{e}=f(q(t)),\Rightarrow e=\int\limits^t_{t_0}dT f(q(T))$

Тогда (используя постоянность $\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}$)

$\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_{e=e[q]}\delta e[q]\Big|_{t=t_0}^{t=t_1}=\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}|_{t=t_1}\int\limits_{t_0}^{t_1}\frac{\partial f}{\partial q}\delta q=\int\limits_{t_0}^{t_1}\frac{\partial L}{\partial\dot{e}}\frac{\partial f}{\partial q}\delta q$
Если что, то же самое мы получили бы если бы до интегрирования по частям расписали вариацию $\delta\dot{e}$ через $\delta q$

[warlock66613]

fizeg в сообщении #755071 писал(а):

Но вообще говоря вариация $e[q](t)$ на концах равна нулю быть не обязана!

Понятно! Ведь это функционал, а не функция, и значение $e$ на краях зависит от значения $q$ не только в этих точках, но и как минимум в соседних! (кроме случая, когда в уравнении, связывающем $q$ и $e$ нет производных).