Im Re - что означают эти символы

[jrMTH]

К примеру,

$dy/dx = RE f (x, y, y)$
или
$dy/dx = \operatorname{Im} f(x, y, y)$

[longstreet]

С комплексными числами не знакомы?

[mihailm]

Угадывается дифур, а при чем здесь RE и Im не ясно.

[longstreet]

Это лишь

jrMTH в сообщении #753863 писал(а):

К примеру

а вопрос в названии темы.

[jrMTH]

longstreet в сообщении #753872 писал(а):

Это лишь

jrMTH в сообщении #753863 писал(а):

К примеру

а вопрос в названии темы.

нет, это диффуры. это пример из книжки Дифференциальные уравнения. А.Н. Тихонов и другие. На странице 11 (новое издание) сразу после фразы: "Неизвестные функции могут быть как дейсвительными, так и комплексными функциями дейсвительной переменной".

Понял.. пошел читать комплексный анализ.

[Munin]

jrMTH в сообщении #753875 писал(а):

На странице 11 (новое издание)

Если книга издана в нескольких изданиях, и страницы могут отличаться, то лучше ссылаться на номер параграфа и номер формулы, а не на номер страницы.

jrMTH в сообщении #753875 писал(а):

сразу после фразы: "Неизвестные функции могут быть как дейсвительными, так и комплексными функциями дейсвительной переменной".

Ну, на самом деле, там написано несколько другое (смотрю по электронной версии издания 2005 года):

Цитата:

...Неизвестные функции могут быть как действительными, так и комплексными функциями действительной переменной.

Очевидно, если $y(x)=\bar{y}(x)+i\bar{\bar{y}}(x),$ где $\bar{y}(x)$ и $\bar{\bar{y}}(x)$ — соответственно действительная и мнимая части функции $y(x),$ уравнение (1.3) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций:


$$\dfrac{d\bar{y}(x)}{dx}=\operatorname{Re}f(x,\bar{y},\bar{\bar{y}}),\qquad\dfrac{d\bar{\bar{y}}(x)}{dx}=\operatorname{Im}f(x,\bar{y},\bar{\bar{y}}).$$

Эти чёрточки сверху достаточно важны: они дают совершенно разный смысл символам. (К сожалению, эти чёрточки - просто значки для различения, и даже не соответствуют стандартной чёрточке в комплексном анализе - комплексному сопряжению. Лучше было бы вместо чёрточек написать $y_1$ и $y_2.$ Сравните:

Цитата:

Очевидно, если $y(x)=y_1(x)+iy_2(x),$ где $y_1(x)$ и $y_2(x)$ — соответственно действительная и мнимая части функции $y(x),$ уравнение (1.3) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций:


$$\dfrac{dy_1}{dx}=\operatorname{Re}f(x,y_1,y_2),\qquad\dfrac{dy_2}{dx}=\operatorname{Im}f(x,y_1,y_2).$$

Впрочем, можно было бы использовать вообще какие-то другие буквы, например, $s$ и $t$ - главное, чтобы вы понимали, что они отличаются и от $y,$ и между собой, и указывают на три разные сущности.)

В этом месте, на самом деле, не очень-то используется комплексный анализ. Наоборот, это замечание вставлено, чтобы отмахнуться от комплексного анализа. На первое время, можете считать, что это просто то же самое, что двумерный вектор: $y=(y_1,y_2)$ - и два уравнения всего лишь задают изменение этого вектора по мере изменения переменной $x$ (как будто, по ходу времени).

Можно представить себе трёхмерное пространство $(x,y_1,y_2)$ как составленное из стопки слоёв (например, представьте себе стопку стеклянных пластин, на каждой из которых отмечена одна точка), где каждое значение $x$ соответствует одному слою, и тогда искомая функция $y(x)=(y_1(x),y_2(x))$ будет линией, пронзающей эти слои (и она будет складываться из двух проекций на боковые стороны: из отдельных функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$), а записанные дифференциальные уравнения будут давать правила для перехода от точки на предыдущем слое к точке на следующем слое: на сколько надо сдвинуться в плоскости слоя в одном и в другом направлении.

[Oleg Zubelevich]

интересно, почему в книжках по ОДУ так редко встречается аналитическая версия теоремы существования и единственности Коши

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #753912 писал(а):

интересно, почему в книжках по ОДУ так редко встречается аналитическая версия теоремы существования и единственности Коши

Потому что она там безыдейна (что бы под ней ни понималось). Аналитичность -- слишком уж жёсткое требование, и ничего принципиально нового при этом особенно так не даёт..

[Oleg Zubelevich]

Аналитические ОДУ встречаются гораздо чаще неаналитических. Всевозможные разложения в ряды по параметрам и по времени основаны именно на теореме Коши в аналитической постановке. Для приложений, в частности, асимптотических методов это очень важно.
Не говоря уже о большой науке про особенности решений в области комплексного времени.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #753925 писал(а):

Не говоря уже о большой науке про особенности решений в области комплексного времени.

А в каких учебниках она изложена?

[Oleg Zubelevich]

с ЛЛ-1 начните

В [Д. Трещев Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем] рассматриваются аналитические динамические системы с малым параметром и обсуждается то как влияют особенности в области комплексного времени на возможность хорошо усреднить данную систему, из этого вытекают оценки стохастических слоев и т.п.

есть статьи В. Козлова о связи существования первых интегралов с ветвлением решений в области комплексного времени

есть статьи Хованского о связи между интегрируемостью в квадратурах дифуров и множеством особенностей ( не путать с деятельностью Козлова ,это очень разные вещи)

про это я знаю по их докладам на семинарах

вот эта статья http://arxiv.org/pdf/1106.2664v2.pdf дает представление о том, что там еще бывает

еще см. Козлов Фурта Сильно нелинейные системы как-то так книжка называется

[Munin]

Спасибо. А более базовые вещи, просто ОДУ по комплексной переменной, где почитать? Не залезая в динамические системы.

[Oleg Zubelevich]

Смирнов Курс Высш Мат. том 3

[Munin]

Спасибо!