Импликация. Почему определяется именно так?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Но тогда это утверждение будучи ложным - не доказуемо. То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома.

Возьмем к примеру теорию, в которой есть лишь одна аксиома, скажем $A$. В этой теории невозможно вывести утверждение $\sim A$ (то есть отрицание А). Следуя вашей логике, утверждение $\sim A$ можно добавить к теории в качестве аксиомы, но не получается. Вернее теория сразу становится противоречивой.

[Amigo]

Dan B-Yallay писал(а):

Цитата:

Но тогда это утверждение будучи ложным - не доказуемо. То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома.

Возьмем к примеру теорию, в которой есть лишь одна аксиома, скажем $A$. В этой теории невозможно вывести утверждение $\sim A$ (то есть отрицание А). Следуя вашей логике, утверждение $\sim A$ можно добавить к теории в качестве аксиомы, но не получается. Вернее теория сразу становится противоречивой.

Я понимаю Вашу логику, но знаете, иногда бывает так, что человек и понимает, но всё равно это его до конца не убеждает, какой то осадок незаконченности всё равно есть.
Так и у меня. Вообще этот вопрос связан с тем, что бы получше разобраться в теореме Гёделя о не полноте. Вот здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9233 - находится обсуждение этой теоремы, присоеденяйтесь.

[luitzen]

Amigo писал(а):

То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома.

(Мета)теорема, обратная к теореме о полноте и противоположная Вашей «аксиоме», называется, как правило, теоремой о корректности.

[Iens]

У меня тоже проблемы с пониманием этого вопроса возникли. Я в итоге пришел к такому выводу:

$A\to B=F$

$F=\text{
$A=\text{
$B=\text{

В импликации утверждение функции $F$ принимается как заведомо истинное, т.е. мы с ним соглашаемся, кроме случая его опровержения. Потому и получается:

$$ \begin{tabular}{c|c|c} A & B & F \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{tabular} $$

По идее должна быть наверно и вариация, когда мы принимаем утверждение $F$ как заведомо ложное, и становящееся истинной, только в случае доказательства. Тогда:

$$ \begin{tabular}{c|c|c} A & B & F \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{tabular} $$

Кроме того "Не следует путать импликацию ($\to$) и логическое следование ($\Rightarrow$). Импликация, как логическое выражение может сама принимать значения истины или лжи. Логическое же следование $A\Rightarrow B$, утверждает, что во всех случаях, когда формула $A$ - истина, $B$ - тоже будет истина."

Википедия помогла http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%B8%D1%8F

[Deggial]

Iens, прежде чем что-то придумывать, почитайте учебники по матлогике (Игошина, например). Ваше "определение" импликации - это определение конъюнкции, потому, оно бессодержательно. Вы бы могли сами сделать этот вывод, если бы читали книги. Кроме того, Ваша попытка переопределить импликацию тоже вполне стандартна (я сам так делал, и читал про тех, кто так делал). Также в этой теме уже приведены кое-какие аргументы, рекомендуется их сначала прочитать и подумать, прежде чем писать.

Кроме того, на форуме все формулы следует записывать ТеХом. Инструкция здесь. А это Ваше сообщение, и все ранее написанные, я исправлю сам.

[AlexeyM]

Чтобы не создавать новую тему, задам вопрос в уже существующей, т.к. с импликацией тоже проблемы. Допустим, я рассматриваю два высказывания: А="1 - не целое число" и В="1 - целое число". Первое высказывание ложно, второе истинно. Импликация, соответственно, будет истинной. Т.е., фраза "если 1 - не целое число, то 1 - целое число" - истина. Такое поведение импликации поддается логическому объяснению? :)

[Sonic86]

AlexeyM в сообщении #741460 писал(а):

Чтобы не создавать новую тему, задам вопрос в уже существующей, т.к. с импликацией тоже проблемы. Допустим, я рассматриваю два высказывания: А="1 - не целое число" и В="1 - целое число". Первое высказывание ложно, второе истинно. Импликация, соответственно, будет истинной. Т.е., фраза "если 1 - не целое число, то 1 - целое число" - истина. Такое поведение импликации поддается логическому объяснению? :)

Ветку предварительно пробовали читать?

[Konstantin Donskoy]

Все просто же. Импликация показывает зависимость факта(высказывания) B от A. Если имеется такая зависимость, то правдивость( существования можно сказать даже) А влечет правдивость B. Импликация равна истине. Если А истинно, а B равна лжи, то B не зависит от А. Импликация равна лжи. Если А равно ложь, то логика тоже проста. Ложь - отсутствие факта А никак не отражается на факте B (вне зависимости от его значения). Это правда и поэтому импликация равна истине.