2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Импликация. Почему определяется именно так?
Сообщение24.04.2007, 21:16 
Уважаемые математики! Помогите разобраться -почему в логике импликация
определяется именно таким а не каким либо иным образом?
То есть почему таблица истинности для этой операции задаётся именно таким способом?
Что касается двух случаев, когда:
1. $A=\text{true}, B=\text{true}, A\to B = \text{true}$
2. $A=\text{true}, B=\text{false}, A\to B = \text{false}$

- то здесь вроде как всё ясно и первая из них мной воспринимается так:" Если мы исходили из верной посылки и правильно рассуждали то мы должны с необходимостью прийти к верному выводу". А вторая так: "Если мы исходили из верной посылки но пришли к не верному выводу - значит мы не правильно рассуждали".
Но остальные два случая, когда
3. $A=\text{false}, B=\text{true}, A\to B = \text{true}$
4. $A=\text{false}, B=\text{false}, A\to B = \text{true}$
- представляют для меня серьёзные трудности. Во-первых я не могу их даже прочитать,
как два первых случая. Во-вторых не могу придумать не одного реального примера который был бы для меня убедительным и который оправдывал бы именно такой выбор значений у этой операции. Помогите пожалуйста в этом разобраться. Или посоветуйте литературу где об этом можно было бы подробно почитать.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2007, 21:24 
Аватара пользователя
Если мы исходили из ложной посылки, то можем получить как истинный, так и ложный результат.

 
 
 
 
Сообщение24.04.2007, 21:48 
Хорошо,тогда такой пример. Пусть есть два высказывания:
$A=\{\text{.
$B=\{\text{
Разберём отдельно случаи сложного высказывания " если $A$ то $B$"
1. Если дождь действительно идёт и земля действительно мокрая
то высказывание "если идёт дождь то земля мокрая" - истинно, и это понятно.
2. Если дождь НЕ идёт а земля тем не менее мокрая, то высказывание "если идёт дождь то земля мокрая"- тоже признаётся за истинное, но это уже непонятно. или ... тут другое высказывание "если НЕ идёт дождь то земля мокрая" признаётся за истину?

 
 
 
 
Сообщение24.04.2007, 22:50 
Аватара пользователя
Если дождь не идёт, то есть, $A$ ложно, то земля может быть как мокрой, так и сухой, то есть, $B$ может быть как истинным, так и ложным, поэтому $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow\neg B$ оба должны быть истинными.

Но Ваш пример мне кажется неудачным, поскольку истинности высказываний здесь не фиксированы, и это сильно запутывает.

Давайте возьмём заведомо ложное утверждение $A=\{\text{Все натуральные числа чётные}\}$ и два утверждения $B=\{\text{Число $2$ чётное}\}$ (истинное) и $C=\{\text{Число $3$ чётное}\}$ (ложное). Тогда $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow C$ оба истинны, поскольку из $A$ явно следуют и $B$, и $C$.

 
 
 
 
Сообщение25.04.2007, 17:06 
А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?

 
 
 
 
Сообщение25.04.2007, 21:15 
Gordmit писал(а):
А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?


Да верно. Доказывается формально. $a, \neg a \vDash b$

 
 
 
 
Сообщение25.04.2007, 22:09 
Gordmit писал(а):
А верно ли, что из любой ложной посылки можно вывести любое утверждение (неважно, истинное или ложное)? Если да, то как это обосновать?
Ну, я бы «обосновал» это так.
Пусть $p$ — Ваше ложное высказывание. Тогда имеем $\neg p$ в качестве истинного высказывания. Из $p$ получаем $p \vee q$, а из $p\vee q$ и $\neg p$ получаем $q$. Надеюсь, последнее «правило вывода» возражений не вызывает :).

Вообще, разговор плавно скатывается к так называемым парадоксам материальной импликации.

Amigo писал(а):
Или посоветуйте литературу где об этом можно было бы подробно почитать.

Быть может, Е. К. Войшвилло «Символическая логика: классическая и релевантная».

P. S. Пока писал (а хотел написать гораздо более подробно), придумал классную фразу (детей пугать): «Сукцедент секвенции может и не стать антецедентом импликации».

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 01:15 
Немного сменим тему.
Возникло два вопроса:
1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?
Ведь не могут же они одновременно быть истинными?

2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны? Как это обосновать?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 08:57 
Аватара пользователя
Amigo писал(а):
1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?

При наличии только этой информации - никак.
Amigo писал(а):
2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны?
Следствия не могут быть одновременно ложными, все остальное может случиться.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 09:44 
Brukvalub писал(а):
Amigo писал(а):
1. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" но и из утверждения
"не $A$" я также вывел следствие "$B$". Известно, что $B$ - истинно. Как же мне узнать какое из двух утверждений - "$A$" или "не $A$" истинно?

При наличии только этой информации - никак.

А что нужно ещё добавить?

Brukvalub писал(а):
Amigo писал(а):
2. Из утверждения "$A$" я вывел следствие "$B$" а из утверждения
"не $A$" я вывел следствие "$C$". Верно ли тогда, что истинно одно
из двух:
1. $B$ -истинно а $C$ - ложно, либо
2. $B$ - ложно а $C$ истинно
Но не в коем случае не может быть так, что и $B$ и $C$ одновременно истинны либо одно временно ложны?
Следствия не могут быть одновременно ложными, все остальное может случиться.

А какие нужно тогда добавить условия, что бы совершенно исключить одновременную истинность следствий?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 09:56 
Аватара пользователя
Amigo писал(а):
А что нужно ещё добавить?
Слишком общая постановка вопроса. Вот если бы Вам удалось из А вывести не-А, то я бы точно знал, что А - ложно :D .
Amigo писал(а):
А какие нужно тогда добавить условия, что бы совершенно исключить одновременную истинность следствий?
Слишком общая постановка вопроса.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 10:39 
Не много в сторону.
Сделаем ряд определений:
1. Аксиома – некоторое утверждение, которое не может быть выведено из данной теории и обязательно истинное. Истинность мы приписываем ему от балды.

2. Доказательство – ряд ИСТИННЫХ утверждений, каждое из которых есть либо аксиома, либо получено на основании аксиом по закону логического следования а последнее утверждение совпадает с тем утверждением которое доказывается .






Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения

Если это утверждение истинно тогда действительно такие утверждения существуют. То есть существуют ложные доказуемые утверждения. Но если они имеют доказательство, то в силу определения 2 – они является последним утверждением в некоторой цепочке, каждое из которых истинно. Следовательно они должны быть истинными. Противоречие.

Если это утверждение ложно, тогда таких утверждений не существует. Но тогда это утверждение будучи ложным - не доказуемо. То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома. Но всякая аксиома в силу определения 1 всегда истинна. Значит утверждение «Существуют ложные доказуемые утверждения» - истинно. Опять противоречие.

Где ошибка в рассуждении?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 11:04 
Аватара пользователя
Amigo писал(а):
Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения
Принимая такую аксиому, Вы создадите внутренне противоречивую теорию, а такие теории в математике не применяются.

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 11:18 
Brukvalub писал(а):
Amigo писал(а):
Сделаем утверждение:
Cсуществуют ложные доказуемые утверждения
Принимая такую аксиому, Вы создадите внутренне противоречивую теорию, а такие теории в математике не применяются.

А как я могу её не принять? У меня что есть выбор? Если утверждение:
"Существуют ложные доказуемые утверждения " - истинно. То мы получаем противоречие.
Если ложно то же противоречие. Значит хоть истинно хоть ложно в любом случае противоречие. Или нет? Или Вы хотите сказать, что можно каким то образом вообще игнорировать определённые аксиомы для определённых теорий? То есть не принимать ни их ни их отрицание?

 
 
 
 
Сообщение21.10.2007, 12:41 
Аватара пользователя
Amigo писал(а):
То есть нельзя доказать, что существуют ложные доказуемые утверждения. Но если что то нельзя доказать, а это тем не менее утверждается то значит это аксиома.
Начнём с того, что утверждение "существуют ложные доказуемые утверждения" само внутренне противоречиво. Ведь Ваше определение истинного утверждения таково: истинны только аксиомы и все утверждения, получаемые из аксиом применением конечной последовательности правил вывода. Или я неправильно Вас понял? Далее, доказуемыми являются утверждения, получаемые из аксиом применением конечной последовательности правил вывода. Значит, всякое доказуемое утверждение является истинным. Будем, как обычно, считать, что непротиворечивой является такая теория, в которой не могут быть одновременно истинными какое-либо утверждение и его отрицание. В Вашей теории 1) Всякое доказуемое утверждение является истинным.
2)Истинным является и отрицание: существуют ложные доказуемые утверждения (Вы хотите принять такую аксиому).
Значит, Вы построили противоречивую теорию.
Вообще-то, без формализации понятия теории, языка теории, правил вывода и т.п. наш разговор получается несколько дилетантским. Метаматематика - весьма серьёзная и очень формальная штука. А в достаточно сложных логических системах всегда есть утверждения, проверить истинность которых средствами самой системы невозможно (знаменитая т. Гёделя, на которой построено счётное множество философских спекуляций).

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group