Помогите нефизику разобраться с примерами по СТО

[Munin]

Alex707 в сообщении #753091 писал(а):

Я в старших классах учился в спец школе с углубленным изучением физики и математики - так что надеюсь, что только вспомнить придется. Или там всё так сложно, что без диплома Физтеха не понять?

Там не сложно. Там просто другая математика. Та, которая обычно (в курсах, не имеющих отношения к СТО) не упоминается.

По сути - небольшая модификация известных формул, и построение математической теории, отличающейся от стандартной на эту модификацию. Получается как по рельсам, просто и непротиворечиво, но всё-таки непривычно. И эта модификация - ни для чего, кроме СТО, не нужна.

Модификация такая: в обычной (евклидовой) геометрии $n$-мерного пространства длина вектора определяется так:

$$l^2=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2.$$

А теперь модифицируем эту формулу таким образом: возьмём несколько слагаемых (с заранее и раз навсегда выбранными номерами) с другими знаками. Получится псевдоевклидова геометрия. В СТО пространство-время - это 4-мерное пространство. Но оси времени и координат входят в формулу с разными знаками:

$$s^2=t^2-x^2-y^2-z^2.$$

(Можно взять все знаки наоборот, то есть, $-+++,$ от этого суть не изменится. Главное - что знаки при $t$ и при других координатах противоположны.) И вот геометрию с таким определением длины вектора предлагается изучить стандартными средствами: векторами и системами координат. Отсюда, из одной этой формулы (и остальных стандартных) получаются все следствия СТО: и сокращение длин, и замедление времени, и фокусы с одновременностью, и постоянство скорости света, и всё продвинутое, что вы могли слышать.

По сути, СТО вполне можно рассказывать школьникам с углублённым изучением физики и математики. Но это редко делают.

-- 08.08.2013 13:01:04 --

Алия87 в сообщении #753147 писал(а):

Чтобы понять основные принципы и разобраться во многих вопросах СТО с помощью метода пространственно-временных диаграмм достаточно математики 8 класса (имеется в виду, что можно обойтись и без гиперболических функций, которые использует Тейлор и Уилер в обозначенной книге).

Можно, но к сожалению, я такой книги не знаю.

А гиперболические функции не сложнее обычных тригонометрических. Тоже отличаются на небольшую модификацию: в тригонометрических функциях основное тригонометрическое тождество

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$

а в гиперболических функциях основное гиперболическое тождество

$$\ch^2 x-\sh^2 x=1$$

(читается "косинус гиперболический в квадрате минус синус гиперболический в квадрате..."; в английском языке приняты обозначения $\cosh$ и $\sinh$). После этого, минусы появляются в некоторых других формулах, сравните:

$$\begin{align}\sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y&\cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y\\\sh(x+y)&=\sh x\ch y+\ch x\sh y&\ch(x+y)&=\ch x\ch y+\sh x\sh y\end{align}$$

$$\begin{align}\sin x&=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}&\cos x&=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\\sh x&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}&\ch x&=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\end{align}$$

Вот графики у новых функций поначалу непривычные, и надо сразу избавиться от всяких ассоциаций с периодичностью - гиперболические функции непериодические. Но "машинерия" формул довольно простая, и быстро доводится до автоматизма, так что выучить эти функции полезно чисто для себя, для экономии усилий, как учат таблицу умножения.

[Алия87]

Munin в сообщении #753167 писал(а):

Алия87 в сообщении #753147 писал(а):

Чтобы понять основные принципы и разобраться во многих вопросах СТО с помощью метода пространственно-временных диаграмм достаточно математики 8 класса (имеется в виду, что можно обойтись и без гиперболических функций, которые использует Тейлор и Уилер в обозначенной книге).

Можно, но к сожалению, я такой книги не знаю.

Будет (в электронном виде).
Для домохозяек, пенсионеров и всех, кто помнит математику хотя бы до 8 класса.

-- Чт авг 08, 2013 19:55:27 --

Dredd в сообщении #753163 писал(а):

А расход топлива тогда как? Ест, допустим, корабль, 1 тонну топлива на 1 млн/км. Для наблюдателя с земли расстояние 100 млн. км. - и 100 тонн соответственно надо топлива сжечь, а для космонавта, например расстояние косращается до 2-х млн. км. - 2 тонны получается расход

А разве корабль не по инерции движется?

[Someone]

Dredd в сообщении #753163 писал(а):

Это образно про камеру. Смысл в том, что у космонавта все медленнее происходит

У космонавта всё с нормальной скоростью происходит. Это принцип относительности: космонавт в корабле, движущемся по инерции, не выглядывая из корабля наружу, не может определить, с какой скоростью он движется и движется ли вообще. Поэтому, если камеру поставить внутри корабля, то потом, после возвращения на Землю, при просмотре фильма невозможно будет ничего подозрительного заметить: ничего не ускоряется и не замедляется.

А если за космонавтом наблюдать с Земли, то всё будет зависеть от того, в какую сторону движется корабль: если от Земли, то происходящее в корабле будет выглядеть замедленным, а если к Земле — то ускоренным. Это называется эффектом Доплера. Разбор непосредственно наблюдаемого космонавтами и земными наблюдателями с помощью эффекта Доплера можно посмотреть в сообщении http://dxdy.ru/post252625.html#p252625. Пространственно-временная диаграмма к этой задаче:

А когда говорят о замедлении хода движущихся часов, то имеют в виду совсем другое. Но обратите внимание, что в этой задаче по корабельным часам экспедиция продолжалась время $2t_0$, а по земным — $\frac{10}3t_0$.

[Someone]

Да, забыл про

Dredd в сообщении #753163 писал(а):

А расход топлива тогда как? Ест, допустим, корабль, 1 тонну топлива на 1 млн/км. Для наблюдателя с земли расстояние 100 млн. км. - и 100 тонн соответственно надо топлива сжечь, а для космонавта, например расстояние косращается до 2-х млн. км. - 2 тонны получается расход?

Расход топлива, естественно, соответствует расстоянию, измеренному в системе отсчёта корабля, то есть, 2 тонны. Да двигатель не успеет сжечь больше.

[myhand]

Munin в сообщении #753167 писал(а):

Можно, но к сожалению, я такой книги не знаю.

Борн. "Эйнштейновская теория относительности". Старенькая, но довольно приличная книжка именно на таком уровне. Без богомерзких синусов-косинусов...

[Munin]

Алия87 в сообщении #753241 писал(а):

Будет (в электронном виде).

О, вы делаете? Замечательно! Когда будет - покажите!

-- 08.08.2013 23:49:29 --

myhand в сообщении #753311 писал(а):

Борн. "Эйнштейновская теория относительности". Старенькая, но довольно приличная книжка именно на таком уровне. Без богомерзких синусов-косинусов...

Спасибо. Да, действительно. Буду знать. Правда, ну уж очень тоскливая первая половина книги...

[Vladimir-80]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #753167 писал(а):

...
Модификация такая: в обычной (евклидовой) геометрии $n$-мерного пространства длина вектора определяется так:

$$l^2=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2.$$

А теперь модифицируем эту формулу таким образом: возьмём несколько слагаемых (с заранее и раз навсегда выбранными номерами) с другими знаками. Получится псевдоевклидова геометрия. В СТО пространство-время - это 4-мерное пространство. Но оси времени и координат входят в формулу с разными знаками:

$$s^2=t^2-x^2-y^2-z^2.$$

(Можно взять все знаки наоборот, то есть, $-+++,$ от этого суть не изменится. Главное - что знаки при $t$ и при других координатах противоположны.) ...

Получается, в псевдоевклидовой геометрии длина вектора легко может оказаться числом комплексным. А каков физический, интуитивный смысл такой длины? С обычной геометрией всё просто: длина вектора $5$ означает, что эталонный единичный отрезок можно уложить вдоль этого вектора ровно пять раз. А как понять длину вектора, выраженную с применением числа $i$ ?

[zvn333]

Someone в сообщении #753301 писал(а):

Да, забыл про

Dredd в сообщении #753163 писал(а):

А расход топлива тогда как? Ест, допустим, корабль, 1 тонну топлива на 1 млн/км. Для наблюдателя с земли расстояние 100 млн. км. - и 100 тонн соответственно надо топлива сжечь, а для космонавта, например расстояние косращается до 2-х млн. км. - 2 тонны получается расход?

Расход топлива, естественно, соответствует расстоянию, измеренному в системе отсчёта корабля, то есть, 2 тонны. Да двигатель не успеет сжечь больше.

Расход( если он вообще нужен ) измерялся в неподвижной СО и был 1 тонна / млн.км ?
Такой и будет. А в СО корабля расход больше... аж 50 тонн/ млн.км

(Оффтоп)

Это чтобы они не спорили в какой СО больше потратилось...

PS : Или ?

[Dredd]

zvn333 в сообщении #753410 писал(а):

Такой и будет. А в СО корабля расход больше... аж 50 тонн/ млн.км

(Оффтоп)

Это чтобы они не спорили в какой СО больше потратилось...

PS : Или ?

Ну на пустом месте предполагать увеличение расхода в 50 раз нельзя. Можно предположить, например, что масса топлива, которая в одной исо воспринимается как 100 тонн, в другой ИСО воспринимается, как 2 тонны. Как вам такое допущение? Вполне логично и непротиворечиво

[rustot]

без всякой сто расход автомобиля 10л/100км выглядит как 10л/80км если следить за ним из исо велосипедиста. так что не вижу ничего удивительного. в какой-то исо вообще, несмотря на расход топлива, корабль будет терять, а не приобретать кинетическую энергию

[JoAx]

Vladimir-80 в сообщении #753394 писал(а):

Получается, в псевдоевклидовой геометрии длина вектора легко может оказаться числом комплексным. А каков физический, интуитивный смысл такой длины? С обычной геометрией всё просто: длина вектора $5$ означает, что эталонный единичный отрезок можно уложить вдоль этого вектора ровно пять раз. А как понять длину вектора, выраженную с применением числа $i$ ?

Первым, кто стал рассматривать СТО как геометрию на все 100%, был Минковский. В своей работе 1908 года он действительно работал с числом $i$. Пространственновременные диаграммы по этому ещё и его именем называют. Физический смысл - различие между пространственно- и временноподобными расстояниями. При чём, imho, лучше "не брать корень", а просто смотреть на квадрат расстояния $ds^2$. Если он, в сигнатуре $(+---)$, положительный, то события (точки) разделены временноподобным расстоянием, если он отрицательный, то пространственноподобным. Если в этой же сигнатуре всё-таки взять корень, то для временноподобного расстояния получиться 2 варианта - 1. положительный, 2. отрицательный - что указывает на то, где находится искомое событие относительно другого. В будущем или прошлом. А для отрицательного $ds^2$ вариант один, что тоже хорошо укладывается.

[Vladimir-80]

Спасибо! Появились идеи по дальнейшему изучению вопроса...

[DimaM]

JoAx в сообщении #753448 писал(а):

А для отрицательного $ds^2$ вариант один, что тоже хорошо укладывается.

Почему один-то? Точно так же два.

[JoAx]

DimaM в сообщении #753482 писал(а):

Почему один-то? Точно так же два.

Вы наверно так считали:

$ds^2=i^2dr^2$
$ds=idr$
$ds=i(-dr)$

, верно?

[rustot]

JoAx в сообщении #753506 писал(а):

Вы наверно так считали

разве это неправильно? $(-i)^2 = -1$