Гельфанд. n-1 пространство.

[Barabashka]

Здравствуйте.

Показать, что в пространстве, где векторами являются системы n действительных чисел $(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)$, совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению

$a_1\xi_1 + a_2\xi_2 +...+a_n\xi_n = 0$

($a_1,a_2,...,a_n$ - фиксированние числа не все равные 0), образует подпространство размерности $n-1$.

из раскрытия скобок выражения $a_1(\xi_1+\xi'_1) + a_2(\xi_2+\xi'_2) + ... + a_n(\xi_n +\xi'_n)$ получаем ноль, т.е. подпространство. Они не могут быть постранствами одной размерности, так как иначе они бы совпадали. Из условия ясно, что они не совпадают.

Никак не могу получить утверждение, что подпространство размерности $n-1$. С какой стороны подойти???

Спасибо.

[Otta]

Видимо, вспомнить определение размерности подпространства.
И, надеюсь, определение линейного подпространства неполностью Вы только здесь проверяете.

[Barabashka]

Otta, ваш комметарий для меня довольно общий.

1. система $n$ чисел - линейное пространство.
2. До места упражнения я не видел определиния размерности подпростарнства. Я думаю, что определение размерности подпространства такое же как и для пространства.
3. Подпростанством оно является, если сумма векторов из этого подпростарнства лежит в нем же, а так же призведение вектора на число. Сумму я показал, а произведение на число и так ясно.
4. В пространстве размерности $n$ есть подпространства меньших размерностей. Как доказать, что оно именно $n-1$ ???

Можно немного детальнее. Мне не ясно.

[Otta]

Barabashka в сообщении #752790 писал(а):

думаю, что определение размерности подпространства такое же как и для пространства.

Верно. И значит, что нужно?

[Barabashka]

Могу сказать, что любые $n$ векторов этого подпространства линейно зависимы, но это не говорит мне о том, что оно размерности $n-1$. Что-то еще должно быть?

[Otta]

Otta в сообщении #752780 писал(а):

вспомнить определение размерности подпространства.

Barabashka в сообщении #752790 писал(а):

определение размерности подпространства такое же как и для пространства.

Otta в сообщении #752794 писал(а):

И значит, что нужно?

На всякий случай подсказываю: вспомнить.

[Barabashka]

Хорошо, и как мне доказать, что в подпространстве нет больше линейно независимых векторов, чем $n-1$???

[Otta]

Barabashka в сообщении #752803 писал(а):

Хорошо, и как мне доказать, что в подпространстве нет больше линейно независимых векторов, чем $n-1$???

А что их там есть, Вы уже доказали?

[Barabashka]

Нет, не доказал. Я понимаю, что их больше чем $n-1$ быть не может потому, что я сказал, что любые $n$ векторов подпространства линейно зависимы. Но почему подпространство не может быть меншей размерности, чем $n-1$??? Насколько я понимаю, это должно следовать из того, что вектор представим в виде $n$ чисел и критерия принадлежности к подпространству. Но не заню как это сделать.

Можно яснее. Не могу вывести что их ровно не больше $n-1$.

[Otta]

Barabashka в сообщении #752811 писал(а):

Я понимаю, что их больше чем $n-1$ быть не может потому, что я сказал, что любые $n$ векторов подпространства линейно зависимы. Но почему подпространство не может быть меншей размерности, чем $n-1$???

Вы говорите про Ваше подпространство или про произвольное?
Для произвольного ни первое Ваше утверждение не верно, ни второе.

Хорошо. А как доказать, что все пространство имеет размерность $n$, как Вы утверждаете?

[Barabashka]

можество из $n$ чисел заданное так $(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)$ образует линейное пространство. В качестве базиса можно выбрать кортежы к которых на $k$ месте будет $1$, а на остальных $0$. Таких векторов будет $n$. Ясно что такими векторами с коэффициентами при них можно выразить любой вектор из $n$ чисел. Они линейно независимы. Кол-во базисов больше $n$ быть не может, потому что если выразить дугой набор базисов через данный и так как они эти новые базисы будут линейно независимыми, то согласно лемме их количество не может превосходить кол-ва векторов через которые эти базисы выражены, т.е. больше $n$ линейно независимых векторв в пространстве быть не может.

Я показал, что можество векторов заданное условием образует линейное пространство.

Любые 2 пространства имеющие одинаковую размерность изоморфны.

так как это подпростарнство оно не может иметь размерность $n$ иначе оно будет совпадать с основным пространством, т.е. одно и то же.

Ясно, что оно должно иметь размерность меньшую.

извество, что в линейном пространстве всегда есть линейные подпространства всех меньших размерностей.

Я говорую о пространствах линейных других я не занаю, не изучал.

Мы рассматриваем подпространство заданное условием.

Так у меня вопрос из чего вытекает, что оно именно $n-1$ пространство???

[mihailm]

Ну базис в этом подпространстве начинайте искать.
Какие значения могут принимать первые n-1 компонета у векторов этого подпространства? (Криво конечно спросил, но пока будете разбираться со смыслом вопроса, все должно стать понятно)

[Barabashka]

Что-то это мне очень напоминает произведение матриц.

[mihailm]

матрицы тут не причем.
Возьмите если совсем непонятно $n=3$

[Otta]

Barabashka
Вообще, совсем конкретную задачу возьмите, раз такие дела.
$n=3$, $2x+3z=0$ - подпространство? если да, то какой размерности?