Доказательство гипотезы Римана.

[antukk]

Гипотеза Римана.
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Исходные данные.
Дзета-функция Римана является функцией $\zeta$(s) комплексного переменного s $=$ a $+$ it , при a $>$ 1, определяемого с помощью ряда Дирихле
$\zeta$(s)$=$1 $+$ $\frac {1}{2^s}+\frac {1}{3^s}+\frac {1}{4^s}+...$
Известно, что все «нетривиальными» нули этой функции расположены в полосе 0 $\le$ Re s $\le$ 1, появляются сопряжёнными парами с одинаковыми мнимыми частями, а их вещественные части симметричны относительно так называемой критической прямой $\frac12$ $+$ it, где t — любое вещественное число. То есть нуль дзета-функции представляет собой один из элементов пары с вещественными частями $\frac12$ $+$ d и $\frac12$ - d, где d какое-то вещественного число, находящееся между 0 и $\frac12$, или, иначе говоря, если a $=$ $\frac12$ - d, то 1 - a $=$ $\frac12$$+$ d.

Доказательство.

Допустим, что нам известно некоторое комплексное число (a $+$ it), являющее нулём дзета-функции Римана и вещественная часть которого больше нуля, но не превышает $\frac12$. Тогда должно иметься число (1 – a $+$ it), которое также будет нулём дзета-функции, то есть из
$\zeta$(a $+$ it) $=$ $\zeta$(1 - a $+$ it) $=$ 0
немедленно следует, что
$\zeta$(a $+$ it) - $\zeta$(1 - a $+$ it)$ = $ 0
Вычтем последовательно ряд дзета-функции $\zeta$(1 - a $+$ it) из ряда $\zeta$(a $+$ it) таким образом, чтобы попарно вычитались члены с одинаковыми основаниями степеней в знаменателях дробей:
(1 - 1)$+$ ($\frac {1}{2^{a+it}} - $\frac {1}{2^{1-a+it}}) $+$ ($\frac {1}{3^{a+it}} - $\frac {1}{3^{1-a+it}}) $+$ ($\frac {1}{4^{a+it}} - $\frac {1}{4^{1-a+it}}) $+$ ... $=$ 0.
В связи с тем, что каждая пара последнего уравнения выражения отличается от другой только основанием в знаменателе, рассмотрим отдельно выражение:
$\frac {1}{n^{a+it}} - $\frac {1}{n^{1-a+it}},
где n — натуральные числа, являющиеся основанием степеней.
Очевидно, что данное выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда вещественные части степеней обеих дробей равны $\frac12$, то есть когда a $=$ $\frac12$.
Следовательно, и все пары нашего уравнения с вычитанием обращаются в нуль тогда и только тогда, когда вещественные части показателей степени равны точно $\frac12$.
Что и требовалось доказать.
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной.

Е.К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана, М., ИИЛ, 1953 , с.40

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите, формулы $\TeX$ом без ошибок. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.