Доказать сходимость

[sbidujko]

Известно, что

$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=0$

и также

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$.

Доказать, что

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$.

Для подпоследовательностей вида $\frac{x_0}{2^{n}}$ доказать нетрудно, а что делать в общем случае?

(Оффтоп)

Не успел набрать до конца, а уже ответили

[ewert]

sbidujko в сообщении #751598 писал(а):

Известно, что $\lim_{n \to 0}f(x)=0$

Нет, неизвестно.

-- Сб авг 03, 2013 21:07:57 --

(Оффтоп)

sbidujko в сообщении #751598 писал(а):

Известно, что $\lim{n \to 0}f(x)=0$ и также $\lim{n \to 0}f(x)=0$

Это тем более неизвестно (примерно вдвое)

[Oleg Zubelevich]

$$f(x)=f\Big(\frac{x}{2^n}\Big)+x\sum_{k=0}^{n-1}\gamma\Big(\frac{x}{2^k}\Big)\frac{1}{2^k},\quad \gamma(x)\to 0$$