Введение скалярного произведения в нормирован. пространстве

[Oleg Zubelevich]

а между прочим хороший вопрос был задан:

_hum_ в сообщении #749946 писал(а):

На всяком ли нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение, которое было бы непрерывным относительно исходной нормы (как функция двух переменных на декартовом произведении пространств)?

я бы еще добавил такой. Пусть $X$ -- нормированное пространство, существует ли хотя бы линейный ограниченный оператор $A:X\to X',\quad \ker A=\{0\}$?

[Otta]

Да, вопрос был хороший.
А на всяком ли нормированном пространстве можно ввести хоть какое-то скалярное произведение?
(Естественно, чтобы, например, пространство было полным относительно порожденной им нормы - не на всяком. А даже и не требуя полноты?)

[Oleg Zubelevich]

Или. Верно ли, что всякое нормированное пространство вкладывается непрерывно в сепарабельное нормированрое пространство?

[g______d]

Если есть непрерывное скалярное произведение, то любое замкнутое подпространство дополняемо (хотя я прямо сейчас не могу точно проверить). А такое не всегда выполняется же.

[Oleg Zubelevich]

нет, так не пойдет

[sergei1961]

Вроде есть теорема, что в нормированном можно ввести скалярное произведение, чтобы две порождаемые ими сходимости были согласованы (или это лишнее?) тогда и только тогда, когда для нормы выполняется равенство параллелограмма?

[Oleg Zubelevich]

Вроде бы вопрос из стартового поста решается положительно.

В книжке Совр. пробл. мат. Фунд. напр. том 19 пишут, что всякое банахово пространство изометрично некоторому замкнутому подпространству пространства $C(S)$, где $S$ -- некоторый компакт. А на компакте можно ввенсти "хорошую" меру и вложить $C(S)$ в $L^2(S)$. Ну это , естественно, только идея. Черт, возможно, в деталях, как всегда.

[GAA]

Сообщение TR63 отделено в Карантин до уточнения.
Это сообщение-уведомление через некоторое время будет удалено.

[sergei1961]

Всё-таки про равенство параллелограмма: Колмогоров-Фомин, изд. 1981 г., с. 162, теорема 8.
Для того чтобы нормированное пространство было эвклидовым н.и д. чтобы выполнялось равенство параллелограмма.
Теорема фон Неймана.
Насколько я помню есть такой нестрогий принцип: если выполнена любая нетривиальная теорема из классической геометрии (кроме неравенства треугольника) , которая формулируется в терминах нормы, то в пространстве можно ввести скалярное произведение, а её выполнение -это критерий. Равенство параллелограмма-один из примеров. В работах фон Неймана с соавторами доказаны и другие подобные критерии и высказан между строк указанный общий принцип, если я ничего не переврал.

И ещё-скалярное произведение бывает НЕ непрерывным в разумных пространствах?

[Otta]

sergei1961 в сообщении #751157 писал(а):

Для того чтобы нормированное пространство было эвклидовым н.и д. чтобы выполнялось равенство параллелограмма.
Теорема фон Неймана.

А, во, спасибо. Для предгильбертовых я не знала, что это верно.
Более того, пространству достаточно быть полунормированным.

PS Только непрерывность будет очевидна для скалярного произведения в норме, им порожденной. А в других - что-то неочевидна.

[Oleg Zubelevich]

sergei1961
вся эта тривиальщина, что вы понаписали не имеет отношения к условию задачи, а у меня нет желания вам это условие разжевывать

[sergei1961]

Кроме Вас тут и другие спрашивали свои вопросы.

[Oleg Zubelevich]

Видимо надо действовать так. Пусть $R=(C(S))'$ -- пространство мер Радона на $S$. Выделим в $R$ множество $M=\{\mu\in R\mid\mu\ge 0,\quad \|\mu\|\le 1\}$. Это множество частично упорядочено [Л. Шварц Анализ том 1] и по лемме Цорна (а еще по теореме Банаха-Штейнгауза) в $M$ найдется максимальный элемент , назовем его $\nu$.
Должно быть, что искомое скалярное произведение на соответствующем подпространстве $C(S)$ имеет вид $(f,g)=\nu(f\cdot g).$

Откуда взялся компакт $S$? Если $X$ это банахово пространство , то $S$ это единичный шар пространства $X'$ снабженный $*-$слабой топологией. Отображение из $X$ в $C(S)$ строится так. Каждому элементу $x\in X$ ставится в соответствие непрерывная функция $f_x:S\to\mathbb{R}$ по правилу $f_x(u)=< x,u>$

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #750904 писал(а):

Верно ли, что всякое нормированное пространство вкладывается непрерывно в сепарабельное нормированрое пространство?

Разумеется, неверно.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #751187 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #750904 писал(а):

Верно ли, что всякое нормированное пространство вкладывается непрерывно в сепарабельное нормированрое пространство?

Разумеется, неверно.

а почему?