Сохранение веса при отображении компактов

[Padawan]

Компактное хаусдорфово пространство $X$ непрерывно отображается на компактное хаусдорфово пространство $Y$. Верно ли, что вес $Y$ $\leqslant$ вес $X$?
(вес топологического пространства - наименьшая мощность $\mathfrak m$ такая, что существует открытая база мощности $\mathfrak m$)

[Oleg Zubelevich]

а некомпактном случае это что заведомо неверно?

[Someone]

Верно. Даже в более общей формулировке: если $f\colon X\xrightarrow{\text{на}}Y$ — совершенное отображение топологических пространств, $w(X)\geqslant\aleph_0$, то $w(Y)\leqslant w(X)$.

Пусть $\mathscr B$ — база пространства $X$. Для каждого конечного подсемейства $A\subset\mathscr B$ положим $V_A=f^{\#}\bigcup A$, где $f^{\#}U=\{y\in Y:f^{-1}y\subseteq U\}=Y\setminus f(X\setminus U)$ — малый образ.
Докажите, что множества вида $V_A$ образуют базу пространства $Y$.

Oleg Zubelevich в сообщении #750905 писал(а):

а некомпактном случае это что заведомо неверно?

Не то чтобы заведомо, но если отображение не совершенное, то вес образа может оказаться больше.

[Padawan]

Someone
Спасибо. Я так и думал, что это отображение будет совершенным (в таблице в конце Энгелькинга только совершенные отображение сохраняют свойство "$\text{вес}\leqslant \mathfrak m$"). И ещё, ни факторные, ни замкнутые, ни открытые таким свойством не обладают. Не подскажите, где можно увидеть пример факторного отображения, увеличивающего вес?

[Someone]

Ну возьмите, например, числовую прямую $\mathbb R$ (со стандартной топологией) и в ней замкнутое подмножество $\mathbb Z$ (множество целых чисел). И факторное отображение, которое склеивает $\mathbb Z$ в одну точку.

[Padawan]

Получается букет счётного числа окружностей. Разве у него вес не $\aleph_0$ ?

[Someone]

Смотря с какой топологией. Если с факторной - то несчётный. Собственно, несчётным является характер в одной точке. Правда, без дополнительных аксиом нельзя доказать, что континуум.