гипотетическая теория устойчивости

[Deggial]

TR63 в сообщении #742606 писал(а):

под всё сходится я понимаю сходятся области устойчивости, расчитанные с помощью моей гипотезы и по Гурвицу. Если они у Вас не сошлись, давайте проверим на практике. Если позволите, я сделаю расчёт (если найдется ошибка, буду очень рада, поскольку эта заноза мне изрядно надоела).

Вы поняли, что у Вас с формулировками проблемы или не поняли? С корректностью определений тоже в основном плохо.
Можете попробовать привести вычисление, быть может что-то понятнее станет.

[TR63]

Deggial,
да, конечно, поняла, что проблемы есть. Но, думаю, что с Вашей помощью их можно исправить (может тему надо поместить в раздел "Помогите...". Я ведь не математик. Но меня интересует возникшая у меня проблема.)
Спасибо за разрешение привести вычисление. Я им воспользуюсь, но позже (кончается компьютерное время; текст набираю второй раз; куда-то исчезает; исчез ответ и Xaostict)

-- 03.07.2013, 10:43 --

Прошу извинить: неправильно набрала Xaositect

-- 03.07.2013, 11:25 --

Xaositect,
начала думать над Вашим вопросом. Неуверенна, что правильно поняла его суть. Вам непонятно, в чём различие между свойством $f_2$ и $f_3$?
В первом случае деление множества M на смежные классы (множества) осуществляется с помощью делителя (свойства) $f_2$ легко (т. е. рально на основании аксиом это можно сделать). Во втором случае деление с помощью $f_3$ сложно осуществить реально (не знаем, как); делим мысленно: просто считаем, что множество разделено на два класса; не важно каким образом это сделано. Далее отображаем первое деление во второе. Гипотеза утверждает, что отображение будет непрерывным, т.е. каждый смежный класс отобразится строго в один из смежных классов.

[TR63]

TR63 в сообщении #735927 писал(а):

Определение.
$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+\alpha$
$\{a_i>0\}$-фиксированные; $ \alpha$-переменная
Точка $ \alpha$ называется симметрической (СТ), если f(x) имеет симметричные корни.
Замечание
Существование симметричных корней можно определить с помощью теоремы Орландо. (Более простую и практичную формулу можно вывести самостоятельно в несколько строк)

Определение (моё)
Левым полунормальным делителем (ЛПД) называется точка, для которой в области правее ($-\infty$;ЛПД) существует не более двух $(CT)^{+}$; если две, то $(CT^+)$, которая не стремится к нулю при $\alpha\to 0$,-это первая из возможных типов (CT)-{стремящиеся к нулю; нестремящиеся к нулю}

При $n=1;2$ (ЛПД) имеет свойства:
1). (ЛПД)=0
2). (ЛПД; первая встречная$(CT)^{+}_1$)-область устойчивости.
3). $((CT)^{+}_1;$+\infty)$$-непрерывная относительно устойчивости область.
4). ($-\infty$; ЛПД)-область абсолютной неустойчивости.

Согласно гипотезе рассматриваем отображения и экстраполируем результат.

$M(f_1)$=\{множество уравнений, имеющих ЛПД\}
$M(f_2)$={множество уравнений, могущих потенциально для каждого конкретного n иметь симметричные корни}

$M(f_3)$={уравнения, для которых область устойчивости, если она существует, определяется (ЛПД), имеющим свойства (2;3;4)}

Сформулирую новую гипотезу (задним числом помня, откуда у неё растут ноги):

Гипотеза
Если уравнение (указанного выше типа) имеет область устойчивости, то она определяется с помощью (ЛПД), имеющего свойства (2,3,4).

Проверим при $(n=3;4)$, затем для гироскопического многочлена (там чуть сложнее; больше вычислений).
Заметим, что в этих случаях уравнения имеют не более одной положительной симметрической точки, которую можно вычислить с помощью теоремы Орландо, а можно и самостоятельно, сложив и вычтя f(x) и f(-x). Короче, получим:
1). $n=3$ $(CT^+)=a_1a_2$
2). $n=4$ $(CT)=\frac{a_1a_2a_3-a_3^2}{a_1^2}$
Продолжение следует (сейчас сильно отвлекают, не дают сосредоточиться)

[TR63]

Итак, очевидно, что новая гипотеза подтверждается теоремой Гурвица (если не очевидно, то распишу подробнее). И из неё, если область устойчивости существует, следует теорема Гурвица для $n=3;4$.

3). Вычислим область устойчивости гироскопического многочлена с помощью новой гипотезы и сравним её с вычисленной по Гурвицу. Если гипотеза верна, то должно получиться (известный факт; кто сомневается, может проверить самостоятельно):
$ab>d+c\sqrt b$

$f(x)=x^6+2ax^5+(2b+a^2)x^4+2(ab+d)x^3+(2ad+b^2+c^2)x^2+2bdx+x^2=0$

Способом, указанным для $n=3;4$ вычислим симметрические точки (СТ) (само вычисление пока пропускаю (из-за нехватки времени); оно элементарно). Их возможное количество не более двух, а именно:

$(CT_1)=\frac d a [\frac {d^2} {a^2}-\frac{(2b+a^2)d} {a}+(b^2+c^2+2ad)]$

$(CT_2)=b(c^2-ba^2+2ad)$

Первая точка при любых заданных в условии переменных всегда строго положительна, т.к. дискриминант строго отрицателен. Получается, что надо рассмотреть два случя: когда вторая точка отрицательна и когда она неотрицательна.

1). $(CT_2)<0\to ab>d+\sqrt{d^2+cb^2}$

В данном случае на роль (ЛПД) годится ноль. Тогда область устойчивости запишется так:
(Продолжение следует)

[TR63]

1. $d^2<(CT_1^+)$, решаем неравенство (оно простое; пока выкладки пропущу, акцентируя внимание на идее), т.к. дискриминант строго отрицателен, то, учитывая, что переменные по условию положительны, можно считать, что $ab>0$
2.$(CT_2^)<0$ (по условию), тогда $b(c^2-ba^2+2ad)<0$ $ba^2-2ad-c^2>0$ $a>\frac{d+\sqrt{d^2+bc^2}}{b}$
$ab>d+\sqrt{d^2+bc^2}$
В итоге получаем, что в этом случае необходимо выполнение условия:
$ab>d+\sqrt{d^2+bc^2}$.

2). $(CT_2)\ge0$
$(LPD)=(CT_2)$, т.к. $(CT_1^+)$ стремится к нулю при $\alpha\to0$
Следует рассмотреть два случая взаимного расположения симметрических точек:

1. $(CT_2^+)\ge(CT_1^+)$
Следуя гипотезе запишем условие устойчивости:
$d^2>(CT_2^+)$, $d^2>b(c^2-ba^2+2ad)$,
$ab>d+c\sqrt b$
2.$(CT_2^+)<(CT_1^+)$.
$(LPD)=(CT_2^+)$, т.к., согласно гипотезе, это должна быть первая не стремящаяся к нулю (СТ) при свободном члене стремящемся к нулю. Тогда для устойчивости (по гипотезе) необходимо выполнение условия:
$d^2>(CT_2^+)$ тогда $ab>d+c\sqrt b$.
случай $ab<d-c\sqrt b$ невозможен, т.к. тогда $d>ab+c\sqrt b$. Т.е. нет устойчивости вблизи нуля. (По основной гипотезе устойчивость вблизи нуля экстраполируется, если область устойчивости существует; этот момент в новой гипотезе об устойчивости неучтён; его надо добавить).
Итак, для устойчивости необходимо выполнение условия: $ab>d+c\sqrt b$ т.е. при $ab\le d+c\sqrt b$ имеем неустойчивость.
Объединяя случай одной и двух $(CT^+)$ получим, что для устойчивости необходимо выполнение условия:
$ab>d+c\sqrt b$.
Вот, с "необходимостью", вроде, всё сходится. Можно искать ошибки (и сама буду искать; если не найдутся, распишу более подробно).

[TR63]

Опровергнуть мою гипотезу "об устойчивости многочленов" мог бы контрпример. Т. е. надо привести пример многочлена шестой степени (не гироскопического), например, с одной положительной симметрической точкой, устойчивого правее этой точки. По моей гипотезе такое невозможно. Поэтому при одной положительной симметрической точке я эту точку называю нормальным делителем. Он делит правую полуось на две части относительно устойчивости. Этот факт можно экстраполировать. Из гипотезы "об устойчивости многочленов" также следует, что при отсутствии положительных симметрических точек имеет место абсолютная неустойчивость. Хотелось бы увидеть в качестве опровержения контрпример. Думаю, что такового не предвидится. Тогда, если симметрические точки находятся из уравнений чётной степени, можно легко строить достаточные области абсолютной неустойчивости. Для этого соответствующее уавнение не должно иметь действительных корней. Как решать такую задачу, покажу на примере.

Пример (из олимпиадного раздела). $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac2 5=0$. докажите, что уравнение не имеет действительных корней.

$x^4(x^2-x+\frac1 3)+x^2(\frac2 3x^2-x+\frac3 8)+(\frac5 8x^2-x+\frac2 5)=0$

Все выражения в круглых скобках неотрицательны. В общем виде не расписываю, т.к., думаю, что идея очевидна.

И ещё. Если уравнение шестой степени (не гироскопическое) имеет две положительные симметрические точки, то оно неустойчиво. Кто может найти контрпример, пожалуйста, приведите.

Если не будет контрпримеров или аргументированных возражений, то далее хочу показать, как это связано с разрешимостью в радикалах. Уже сейчас хочу заметить, что связь есть. Почему я так думаю? ... В книге Л.С. Понтрягина "Дифференциальные уравнения и их приложения" при доказательстве теоремы Гурвица ($n=3$) используется факт непрерывной зависимости корней от коэффициентов, т.е., как я полагаю, наличия формулы (или разрешимости через коэффициенты). Такой подход мне не нравится. А у Постникова, вообще, доказательство занимает более десятка страниц (за деревьями не видно леса; не осилила; придумала своё, в несколько строк, стандартное; позже приведу).
Некоторые сомнения у меня есть. Например, если уравнение для определения симметрических точек не имеет действительных корней, то при подстановке комплексных в исходное уравнение можно получить действительные числа? Но, думаю, что, если и можно, то возможно обойти этот момент. Всё-таки это гипотеза, но очень правдоподобная.

[TR63]

Приведу доказательство (стандартное; своё) для случая $n=3$.

$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$; считаем коэффициенты положительными, иначе, по теореме Стодолы, будет неустойчивость. Доказать, что симметрическая точка $a_3=a_1a_2 $ является нормальным делителем, т.е. при фиксированных $a_1$,$ a_2$ и переменном положительном $a_3$, делит правую полуось на две части относительно устойчивости.

1). Докажем, что для устойчивости достаточно выполнения условия: $a_3<a_1a_2$.
Предположим, что корни неустойчивы. Тогда существуют один отрицательный и два комплексных с положительной действительной частью. Т.е.

$x_1+\alpha_1+\alpha_1=-a_1$
$x_1=-a_1-2\alpha_1$ $\to$$\mid{x_1}\mid>a_1$
$x_1^3+a_1x_1^2=x_1^2(x_1+a_1)<0$, следовательно $a_2x_1+a_3>0$(т.к. сумма двух отрицательных не равна нулю).
$a_3>\mid{a_2x_1}\mid>a_2a_1$
Т.е. для неустойчивости необходимо, чтобы выполнялось условие $a_3>a_1a_2$. Тогда для устойчивости достаточно $a_3<a_1a_2$.

2). Необходимость. (Если докажем стандартно, то привлечение Понтрягиным разрешимости избыточно). Желающие могут доказать самостоятельно (это просто).

(Если ошиблась, подскажите, где именно.)

[TR63]

Замечание. Вопрос о том, какова область устойчивости (гипотетическая) при отсутствии положительных симметрических точек остаётся открытым для $n>4$. Могу лишь добавить, что существуют другие конфигурации, чем, например, при одной.

[TR63]

Рассмотрим случай отсутствия положительных (СТ) для уравнений пятой, шестой степени (для более высоких степеней задача усложняется). Здесь возможны два варианта:
1). Существуют действительные (СТ).
2). Не существуют действительные (СТ).

Следует заметить, что существует, по крайней мере, два способа определения (СТ): из формулы Орландо и из моего метода. (Интересно, существуют ли другие методы?). (СТ), рассчитанные разными методами, могут не совпадать. Ранее был рассмотрен пример, когда (СТ) действительны и среди них есть положительные; области устойчивости совпали.
Теперь рассмотрим случай, когда (СТ), полученные разными методами, не совпадают; в одном из методов (моём) будут отсутствовать действительные (СТ), а, значит, отсутствовать и положительные (СТ).
В качестве примера такой ситуации рассмотрим уравнение (хвост экспоненты пятой степени):
$x^5+5x^4+20x^3+60x^2+120x+120A=0$
Для нахождения (СТ) запишем формлу Орландо для уравнения пятой степени:
$c_5^2+(c_1 c_2^2-2c_1 c_4-c_2 c_3)c_5+(c_1^4c_4^2+c_3^2 c_4-c_1 c_2 c_3 c_4)=0$
Теоритические расчёты показывают, что области устойчивости не совпадают. Практика показывает, что верной является область, рассчитанная по Гурвицу. Следует ли из этого, что гипотетическая теория устойчивости не верна? Пока логических ошибок я не вижу. Думаю, что это такая логическая непрерывная химера, которую достаточно проверить в одной точке на соответствие практике. Подобная химера мне уже встречалась в теме "Отрицательные корни" "Олимпиадного раздела".
Теперь надо решить следующую задачу: существуют ли $c_i$ такие, что дискриминант в формуле Орландо отрицательный, а в моём методе положительный.

[TR63]

Замечание. (Поправка к вышесказанному.) В данном случае химеры нет. Всё идёт по плану. Получили, что хвост экспоненты не имеет нормального делителя. Напомню, что это такое. Т.е. при постоянных коэффициентах и переменном свободном члене в соответствующем уравнении область на правой полуоси не имеет единственной точки, делящей её на две части относительно устойчивости. По Гурвицу получается, что это будет интервал. Такая ситуация вполне закономерна. Ведь область определения гипотезы об устойчивости не содержит уравнений типа хвоста экспоненты. Напомню, что областью определения гипотезы являются уравнения, обладающие свойством гипотетически иметь симметрические точки (действительные и такие, что для их обнаружения надо реально подставлять в исходное уравнение числа, находимые по формулам, т.е. они должны быть выражены через коэффициенты с помощью заданных операций. Следовательно должна быть взаимосвязь с разрешимостью в радикалах.) Применив к хвосту экспоненты гипотезу о необходимом условии разрешимости в радикалах, получим, что соответствующее уравнение неразрешимо в радикалах, т.к. не выполняется условие $0<S\le3$, где S-это сумма количеств симметрических и кратных точек. В нашем случае $S=0$. Т.е. уравнение неразрешимо в радикалах, следовательно к нему нельзя применять гипотезу об устойчивости. Кстати, гироскопическое уравнение удовлетворяет указанному условию (области усточивости, как было показано, совпали).

Замечание. Дискриминанты для определения симметрических точек по Орландо и по моему методу эквивалентны относительно знака (>;<). Для уравнений пятой степени это легко проверить(уровень квадратных уравнений).

Вывод (по крайней мере, необходимость). Уравнения с положительными коэффициентами, разрешимые в радикалах, имеют на правой полуоси нормальный делитель который делит её на две части относительно устойчивости при наличии одной положительной симметрической точки. Если таких точек не одна, то ...

Кто-то может возразить, сказав, что вывод, сделанный на основании гипотезы (данной в самом начале темы), если она ложна, может быть ложным. Ложным и кое-где правдивым он может быть только в том случае, если исходная ложь была локальна. Грубо говоря, из локальных относительно "правды", "лжи" утверждений следуют локальные, а из абсолютных следуют абсолютные. Например: "Все натуральные числа кратны четырём"(локальное); из него следует локальное: "Все натуральные числа кратны двум". Но, если исходная ложь абсолютна, т.е. бесконечна, и минимальна одновременно (имеется минимальность бесконечности), то из неё могут следовать только утверждения, которые непрерывны относительно "правды", "лжи". А, что имеет место в реальности, достаточно проверить в одной точке.

Вот, такая гипотеза. Может, бред, но очень правдоподобный. Хотелось бы опровержения с помощью контрпримера. Если он возможен, то специалистам по комптехнологиям ничего не стоит его найти. Ведь это элементарный школьный уровень.

[TR63]

Уточнение.
Под разрешимостью в радикалах в данной теме следует понимать разрешимость в периодических радикалах. Т.е. в таких, которые существуют в реальности. Из моей универсальной гипотезы (УГ сокращённо) следует, что это могут быть радикалы степени не выше третьей.

В качестве примера можно рассмотреть уравнения:
$x^5+\frac5 4 x^4+\frac{20} 3 x^3+5x^2+\frac{28} 3 x+A=0$
$x^5+\frac{15} 4 x^4+\frac{20} 3 x^3+5x^2+\frac{28} 3x+B=0$

В первом уравнении свободный член-переменное любое положительное число. Имеется одна положительная $C=5$ и одна отрицательная симметрические точки и ноль кратных точек. Для контрпримера требуется на положительной полуоси найти точку левее положительной симметрической, чтобы многочлен был неустойчив, а правее положительной симметрической найти точку, чтобы многочлен был устойчив. У меня пока не получается на вольфраме найти такие точки. По (ГТУ-гипотетическая теория устойчивости) их там и не должно быть. А, вдруг есть?
Во втором уравнении две отрицательных симметрических и ноль кратных точек. И та же история. Правее нуля не могу найти нарушения непрерывности понятия (устойчивость; неустойчивость).
Ещё интересно исследовать уравнение с положительными коэффициентами, разрешимое в радикалах по теории Галуа, на предмет наличия нормального делителя.

Замечание.
Из моей (УГ) следует сама теорема Гурвица автоматически. Если теорема Гурвица абсолютно верна, то может ли она следовать из локального утверждения?, т.е. где-то верного, а где-то нет. Я предполагаю, что теорема Гурвица эквивалентна моей (УГ). Ищу контрпример. Пока найти не могу.