Доказательство несостоятельности ВТФ

[Yarkin]

AD писал(а):

$ C = pi/2 $по условию (понятно, что прямой угол - только $ C $, потому что против него лежит большая сторона ).

Уважаемый AD прошу разъяснить это замечание или комментарий?

[bot]

Yarkin писал(а):

Предлагаю третий вариант формулировки теоремы с учетом замечаний, которые сделал bot . Правда, я оставил показатель четным.

Теорема (ВТФ для треугольника) ...

О горе мне! Я уже участвую в улучшении формулировки!
Да не нужно ничего улучшать!
Нет (понимаете?), нет целых ненулевых чисел, удовлетворяющих равенству

$x^n+y^n=z^n$ при натуральных $n>2$!

Где Вы видите ошибку? Что Вы собираетесь улучшать? Зачем нужен треугольник (или угол) в совершенно чёткой и недвусмысленной формулировке?
Другое дело, если есть желание приспособить треугольник к доказательству (здесь Вы не одиноки), но это не есть проблема постановки задачи - это проблема того, кто этим способом хочет её решать.
Давайте-ка я и сюда затащу для сравнения задачку (с небольшим изменением) - пожалуй здесь ей лучше.

Задачка. Найти минимальное значение функции $f(x)=\sqrt{x^2+(x-3)^2}+\sqrt{x^2+(x-4)^2}$ на множестве действительных чисел.

В принципе, задачка стандартная для студента 1-го курса и мало кому из них (проверить что ли?) придёт в голову решать её геометрически - в формулировке ведь геометрии и в помине нет.

В формулировке ВТФ тоже нет никакой геометрии, однако приспособить геометрию для её доказательства таким же тупым образом, как в задачке, заведомо не получится.
Вы же, судя по подписи, хотите приспособить геометрию не к доказательству ВТФ, а для доказательства её недоказуемости. А как Вы это себе представляете? Термин недоказуемость в логике имеется, только я сомневаюсь, что Вы имеете представление, что он означает.
Лучше даже так: не сомневаюсь, что Вы не имеете о нём ни малейшего представления.

[Руст]

Bot, разрешите не согласится, что вашу задачу лучше решать без геометрии. Я помню такого рода задачи давали в вступительных устных экзаменах.
Решение. Переформулируем как нахождение минимальной суммы расстояний от прямой y=x (с точками С=(х,х)) до точек A=(0,3) и B=(4,0). Так как r(A,C)+r(C,B) не меньше r(A,B)=5 это сумма расстояний не меньше чем расстояние между ними 5, равенство на пересечении отрезка, соединяющего эти точки с указанной прямой y=x.
Как видно геометрия существенно упрощает решение.

[bot]

Руст писал(а):

Bot, разрешите не согласится, что вашу задачу лучше решать без геометрии.

Одно из двух - либо я плохо выразился, либо Вы не так прочитали. Задачу составлял в расчёте именно на это решение.
Наоборот, уже зная точку минимума из геометрии, её легко найти из уравнения $\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=1$. Ясно, что стандартное решение через производную гораздо хуже будет.

[Yarkin]

bot писал(а):

О горе мне! Я уже участвую в улучшении формулировки!

Вы недооцениваете оказанную помощь.

bot писал(а):

Нет (понимаете?), нет целых ненулевых чисел, удовлетворяющих равенству

$$ x^n + y^n = z^n $$

при натуральных $ n > 2 $!

Элементарного доказательства этого факта нет.

bot писал(а):

Где Вы видите ошибку?

В формулировке.

bot писал(а):

Зачем нужен треугольник (или угол) в совершенно чёткой и недвусмысленной формулировке?

Ответ дан в первом комментарии. Я утверждаю, что Ферма для $ n=4, (2\nu=4)$, Эйлер для $ n=3, (2\nu=3) $ и др. доказывая ВТФ доказали, именно, эту теорему, а не ВТФ.

bot писал(а):

Другое дело, если есть желание приспособить треугольник к доказательству (здесь Вы не одиноки), но это не есть проблема постановки задачи - это проблема того, кто этим способом хочет её решать.

Мою цель отражает название темы, а поиск доказательства противоречит моему девизу.

bot писал(а):

В формулировке ВТФ тоже нет никакой геометрии, однако приспособить геометрию для её доказательства таким же тупым образом, как в задачке, заведомо не получится.

Я считаю, что во всех, имеющихся частных доказательствах, использована геометрия, которую, по условию ВТФ, использовать нельзя.

bot писал(а):

Термин недоказуемость в логике имеется, только я сомневаюсь, что Вы имеете представление, что он означает.
Лучше даже так: не сомневаюсь, что Вы не имеете о нём ни малейшего представления.

Это не противоречит Вашему девизу, но мне приятнее замечания по теме.

[AD]

Yarkin писал(а):

Теорема (ВТФ для треугольника). Не существует ни одного прямоугольного треугольника с

а дальше Yarkin писал(а):

Действительно, допустим, что существует не прямоугольный треугольник с указанными длинами сторон

в связи с этим AD писал(а):

$C=\pi/2$ по условию

То есть я по-прежнему не понимаю вашу формулировку. Что треугольник обязан быть прямоугольным - это дано в условии или вы это доказываете?

Yarkin писал(а):

Ответ дан в первом комментарии. Я утверждаю, что Ферма для , Эйлер для и др. доказывая ВТФ доказали, именно, эту теорему, а не ВТФ.

Yarkin писал(а):

поиск доказательства противоречит моему девизу.

А, то есть вы вообще не собирались ничего доказывать? Ни доказывать ВТФ, ни опровергать, ни доказывать недоказуемость? Просто решили провести историческое исследование на тему "как Ферма формулировал теорему Ферма?". Обидно. А я так хотел поглядеть на хоть-какое-нибудь доказательство в вашем исполнении. Да, и мне не важно, как формулировали утверждение раньше. Меня лично удивляет лишь то, что некоторое утверждение, которое называют теоремой Ферма сейчас, по-прежнему остается без доказательства. Впрочем, искать его я не планирую. А вы что по этому поводу думаете? И не говорите, что у нее неправильная формулировка. Формулировка корректная, можно пытаться доказывать/опровергать.

[Yarkin]

AD писал(а):

То есть я по-прежнему не понимаю вашу формулировку. Что треугольник обязан быть прямоугольным - это дано в условии или вы это доказываете?

Предлагаю четвертый вариант формулировки теоремы с учетом этого замечания.[
Теорема (ВТФ для треугольника). Не существует ни одного прямоугольного треугольника с длинами сторон

$$ \rho^\nu_1, \rho^\nu_2, \rho^\nu, \nu = 2, 3, …, \eqno (2) $$

для которого, при $ \nu > 1 $, cоотношение

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2= \rho^{2\nu}, \eqno (3) $$

выполнялось для трех целых положительных величин $ \rho_1, \rho_2, \rho. $
Так должна звучать ВТФ для треугольника, как я понял из сделанных мне замечаний. Не прямоугольные треугольники можно не рассматривать, так как условие (3) будет противоречить условиям

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 + 2 \rho^\nu_1 \rho^\nu_2 \cos C = \rho^{2\nu}\\ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_1 \rho^\nu \cos B = \rho^{2\nu}_2\\ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_2 \rho^\nu \cos A = \rho^{2\nu}_1.\\ \end{aligned} \right. (\nu = 1, 2, 3, …) \eqno (4) $$

теоремы косинусов [5, 330]. Здесь $ A, B, C $ - углы, противолежащие сторонам $ \rho^\nu_1, \rho^\nu_2, \rho^\nu $ соответственно.
Комментарий. Доказательство самой теоремы остается открытым. Моя цель доказать, что так должна звучать ВТФ и что Ферма для $ n=4 (2\nu=4) $ Эйлер, для $n=3 (2\nu=3)$и др., доказали именно эту теорему, а не ВТФ.

AD писал(а):

Обидно. А я так хотел поглядеть на хоть-какое-нибудь доказательство в вашем исполнении.

Это будет.

AD писал(а):

Впрочем, искать его я не планирую. А вы что по этому поводу думаете?

Правильно.

AD писал(а):

Формулировка корректная

Не согласен.

[Yarkin]

Убедиться, что имеющиеся частные доказательства ВТФ, без изменения, применимы для сформулированной теоремы, не трудно. Однако имеет место
Утверждение: ВТФ и теорема ВТФ для треугольника не равносильны.
Доказательство. Допустим противное, что эти теоремы равносильны, тогда из доказательства одной, должно следовать доказательство другой. Уравнения (1) и (2) совпадут, если положить

$$ x = \rho^2_1, y = \rho^2_2, z = \rho^2, \eqno (5) $$

или

$$ \rho_1 = \sqrt{x}, \rho_2 = \sqrt{y}, \rho = \sqrt{z}, \eqno (6) $$

Допустим, что доказана теорема ВТФ для треугольника т. е. все три величины $ \rho_1, \rho_2, \rho $ - не целые. В этом случае, все величины, стоящие в левых и правых частях соотношений (5) могут оказаться целыми. Таким образом, из доказательства теоремы ВТФ для треугольника, доказательство ВТФ может не быть.
Допустим теперь, что доказана ВТФ, т. е., все три величины $ x, y, z $ - не целые. В этом случае, все величины, стоящие в правых и левых частях соотношений (5) будут не целыми. Отсюда заключаем, что из доказательства ВТФ всегда следует доказательство теоремы ВТФ для треугольника. Предположение равносильности неверно. Утверждение доказано.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Таким образом, из доказательства теоремы ВТФ для треугольника, доказательство ВТФ может не быть.

А может и быть.

Yarkin писал(а):

Предположение равносильности неверно.

А может быть, и верно.

Yarkin писал(а):

Утверждение доказано.

А может быть, и не доказано.

Как-то вы совсем глупо подставляетесь.

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Yarkin писал(а):
Таким образом, из доказательства теоремы ВТФ для треугольника, доказательство ВТФ может не быть.

tolstopuz писал(а):

А может и быть.

Поэтому я пишу может быть.

Добавлено спустя 16 минут 56 секунд:

tolstopuz писал(а):

Как-то вы совсем глупо подставляетесь.

Расчитываю на помощь умных и замечания по существу, а неравносильность считаю доказанной.

Добавлено спустя 2 часа 27 минут 19 секунд:

Доказательство теоремы ВТФ для треугольника. Допустим противное – что существует прямоугольный треугольник с катетами $ \rho^\nu_1, \rho^\nu_2$
и гипотенузой $ \rho^\nu $ c целыми положительными значениями величин $ \rho_1, \rho_2, \rho $.По свойству сторон прямоугольного треугольника для них, одновременно, должны выполняться неравенства:

$$ \rho^\nu_1 + \rho^\nu_2 > \rho^\nu, \rho^\nu_1 + \rho^\nu > \rho^\nu_2, \rho^\nu_2 +\rho^\nu > \rho^\nu_1, \rho^\nu_1 < \rho^\nu, \rho^\nu_2 < \rho^\nu. $$

По свойству неравенств и степени, будут выполняться и эти неравенства:

$$ \rho^\mu_1 + \rho^\mu_2 > \rho^\mu, \rho^\mu_1 + \rho^\mu > \rho^\mu_2, \rho^\mu_2 +\rho^\mu > \rho^\mu_1, \rho^\mu_1 < \rho^\mu, \rho^\mu_2 < \rho^\mu, \mu = 1, 2, 3, ...,2\nu-1 \eqno (7) . $$

Тогда будут существовать треугольники с длинами сторон (7), которые удовлетворяют теореме косинусов. Эти треугольники, согласно вывода из соотношений (4) могут быть только прямоугольными с катетами $ \rho^\mu_1, \rho^\mu_2, \mu = 2, 3, …,2\nu - 1 $ и соответствующей гипотенузой $ \rho^\mu, \mu = 2, 3, …,2\nu-1 $. В этом случае соотношения

$$ \rho^{2 \mu}_1 + \rho^{2 \mu}_2= \rho^{2\mu}, $$

должны будут выполняться для любого $ \mu = 2, 3, …, 2\nu-1 $ одновременно, что невозможно. Получили противоречие допущению. Такой треугольник не существует. Теорема доказана.
Из доказательства утверждения и теоремы следует, что формулировка теоремы ВТФ для Ферма корректна, а формулировка ВТФ – не корректна (Спасибо AD за термин, я его буду использовать вместо термина несостоятельность).
[

[AD]

понятно кто писал(а):

По свойству неравенств и степени, будут выполняться и эти неравенства

Этот переход не понятен. Из того, что $a+b>c$, не следует, что $a^2+b^2>c^2$ - возьмите любой прямоугольный треугольник и убедитесь.
Дальше, правда, у вас написано $\mu=2,3,...,\nu$, но это дальше. Это я потом подумаю.

Цитата:

Эти треугольники могут быть только прямоугольными

Откуда это???

Ну и так далее.

Но даже если вы действительно это докажете -

Цитата:

Из доказательства утверждения и теоремы следует, что формулировка теоремы ВТФ для Ферма корректна, а формулировка ВТФ – не корректна

вам придется снова (впервые) обосновать и эту импликацию. Без размахивания руками, без обращения к философии и истории, строго обосновать.

Сомневаюсь я в вас, Yarkin ... Сильно ... Безнадежно ... Вы ведь даже свою собственную теорему с четвертой попытки сформулировать не можете ... со мной бы так на экзамене возились ... а вы претендуете еще на что-то ...

А на счет термина - "несостоятельность" как раз в вашем духе, термин, который не имеет никакого математического смысла, поэтому можно смело пользоваться. А "корректность" имеет смысл, вроде бы, кто тут у нас логики, поправьте меня если что.

Добавлено спустя 6 минут 52 секунды:

Теорема 1. $\Bigl\{(x,y,z,n)\in\mathbb{N}^3\times\bigl(\mathbb{N}\setminus\{1,2\}\bigr)\ \Bigl|\Bigr.\ x^n+y^n=z^n\Bigl\}=\varnothing$
Ну что тут некорректного, пальцем ткните мне!!

[Yarkin]

AD писал(а):

вам придется снова (впервые) обосновать и эту импликацию. Без размахивания руками, без обращения к философии и истории, строго обосновать.

Согласен со всем написанным. Я внес в доказательство несущественные изменения.

AD писал(а):

Сомневаюсь я в вас, Yarkin ... Сильно ... Безнадежно
Зря. Я надеюсь, что Вы и другие математики форума продолжат оказывать мне такую же помощь и мы вместе, до начала нового учебного года закроем проблему Ферма

AD писал(а):

Вы ведь даже свою собственную теорему с четвертой попытки сформулировать не можете ... со мной бы так на экзамене возились ... а вы претендуете еще на что-то ...

Так и должно быть. Ведь эта теорема заменет ВТФ. Она - не только моя (я считал, что такая теорема должна быть), она - продукт Форума.

AD писал(а):

Теорема 1.$\Bigl\{x,y,z,n)\in\mathbb{N}^3\times\bigl(\mathbb{N}\setminus\{1,2\}\bigr)\Bigl|\Bigr.\ x^n + y^n = z^n\Bigl\}=\varnothing$
Ну что тут некорректного, пальцем ткните мне!!

.
Совершенно нет геометрии!

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Совершенно нет геометрии!

И…

С каких это пор отсутствие геометрии делает математическое утверждение некорректным?

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Поэтому я пишу может быть.

Yarkin писал(а):

а неравносильность считаю доказанной.

Может быть доказанной или может быть считаете?

[Yarkin]

Хотя мы установили, что из доказательства теоремы ВТФ для треугольника, может не следовать доказательство ВТФ но, воспользовавшись тем, что ВТФ безразлична к геометрии, докажем, получающееся из доказанной теоремы
Следствие. Не существует ни одного прямоугольного треугольника с длинами сторон

$$ x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}, \eqno (8) $$

для которого, при $ n > 2, (n = 3, 4, …,) $
соотношение (1) выполнялось для трех целых положительных величин $ x, y, z $
Доказательство. Положим $ n = 2\nu $ и запишем уравнение (1) в виде

$$ x^{2\nu} + y^{2\nu} = z^{2\nu}, 2\nu = 3, 4, …,.\eqno (9) $$

Уравнения (3) и (9) совпадают для $ \rho_1 = x, \rho_2 = y, \rho = z $ Согласно доказанной теоремы, не существует прямоугольного треугольника со сторонами

$$ \rho^{\nu}_1 = x^{n/2}, \rho^{\nu}_2 = y^{n/2}, \rho^\nu = z^{n/2}, 2\nu = n = 3, 4, …, $$

для которого положительные величины $ \rho_1 = x, \rho_2 = y, \rho = z $ принимали бы целые значения, что и требовалось доказать.
Мы не имеем права принять это следствие, в силу указанных выше причин, за доказательство ВТФ. Если нам удастся доказать, что ВТФ должна звучать также, как теорема ВТФ для треугольника, то тем самым будет доказана некорректность ее формулировки, а отсюда и бессмысленность поиска ее доказательства.