Научите понимать косинус

[Oleg Zubelevich]

bigarcus в сообщении #750012 писал(а):

я на вас всех матом буду кричать, если вы в Третьяковку придете.

матом в Третьяковке -- это у вас гуманитариев называется постмодернизмом и современным искусством , я не ошибся?

[bigarcus]

(Оффтоп)

это важнейший типологический признак постмодернизма и современного искусства.
так что не ошиблись. особенно если я голый буду!
и на вас тоже буду кричать, вы приходите только

[arseniiv]

Otta в сообщении #750040 писал(а):

Косинус в многомерном пространстве определяется как раз через скалярное произведение.

А не угол? Косинус везде одинаковый, разве нет?

bigarcus в сообщении #750086 писал(а):

и зачем другую тему? скалярное произведение имеет прямое отношение к косинусу

Не очень прямое. Надо полстраницы исписать сначала. (Может быть, есть способ и короче, не знаю пока.)

[Oleg Zubelevich]

$$\cos\varphi=\frac{(\overline a,\overline b)}{|\overline a||\overline b|}$$

устроит?

[_hum_]

(Otta)

Otta в сообщении #750056 писал(а):

_hum_
Ну если уж грубо говоря - отрезок - часть одномерной вполне себе прямой, и ничто Вам не должно мешать прикладывать Ваш эталон хоть в каком пространстве.

Так само понятие отрезка в многомерном пространстве становится чисто математическим (в отличие от трехмерного - где это понятие у всех людей изначально присутствует), потому его можно определять многими способами (ну там, ввели любую метрику, и определили отрезок как множество точек, лежащих на геодезической между двумя заданными).
Тут, как мне видится, ситуация такова. В трехмерной геометрии математика "схватывает" те объекты и отношения между ними, которые и так входят в понятийную систему человека (даже тот, кто никогда не изучал геометрии, имеет понятие о "точке", "отрезке", "угле", "движении", "подобии" и т.п.). В многомерном же случае ничего такого не может быть априори, ибо наши чувства не позволяют воспринимать пространство больше трех (или четырех, если считать время) ). Но, чтобы привлечь наш чувственный опыт к решению задач и в таких случаях, стараются "сохранить преемственность" - вводить объекты и отношения между ними так, чтобы это было схоже с таковыми из обычной трехмерной геометрии. Но, подчеркиваю, это лишь для удобства (никакой изначально присутствующей "естественности", о которой твердит Aritaborian, нет.)

Цитата:

Хотя длины (как метрику) можно определять ну очень по-разному даже в двумерном. Да Вы и сами знаете.

Можно. Но среди всех возможных математических вариантов вариант с евклидовой метрикой будет единственный соответствовать геометрии реального мира (описывать реальные геометрические измерения с помощью эталонов). [Кстати, интересно, а можно ли изменить принятую процедуру измерения длины (составление эталонов и их частей) на что-нибудь более экзотическое, и что из этого выйдет, изменится ли евклидова метрика, например...]

[arseniiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #750158 писал(а):

$$\cos\varphi=\frac{(\overline a,\overline b)}{|\overline a||\overline b|}$$

устроит?

Вы же прекрасно понимаете, что как определение косинуса это не подходит. И тогда надо это равенство доказывать. Не в одну строчку точно.

[Otta]

arseniiv в сообщении #750149 писал(а):

А не угол?

Угол, да.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #750149 писал(а):

Косинус везде одинаковый, разве нет?

Ну как сказать. Есть еще $\cos(1+i)$.

-- 29.07.2013, 17:59 --

_hum_

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #750159 писал(а):

Но, чтобы привлечь наш чувственный опыт к решению задач и в таких случаях, стараются "сохранить преемственность" - вводить объекты и отношения между ними так, чтобы это было схоже с таковыми из обычной трехмерной геометрии. Но, подчеркиваю, это лишь для удобства (никакой изначально присутствующей "естественности", о которой твердит Aritaborian, нет.)

Это как посмотреть. Можно посмотреть и так (раз уж мы все равно занялись притягиванием за уши): чтобы на любом одно-, двух- и трехмерном подпространстве заданное на всем пространстве расстояние между точками совпадало с естественным (евклидовым). И если смотреть под таким углом, то изначально присутствующая естественность какая-никакая, но есть.

[arseniiv]

(2 Otta.)

Otta в сообщении #750185 писал(а):

Ну как сказать. Есть еще $\cos(1+i)$.

Ну, можно смело ( ) утверждать, что $\cos\colon\mathbb C\to\mathbb C$ — тот же самый, что и $\cos\colon\mathbb R\to\mathbb R$: сужение первого даёт второй, аналитическое продолжение второго даёт первый; оба одинаково являются решениями $y'' + y = 0$ и т. д..

[Munin]

bigarcus в сообщении #750006 писал(а):

неужели при док-вах теорем математики все аксимоы перебирают и комбинируют а не идейно смотрят...

Вот это интересный вопрос. Математики, конечно, не просто перебирают аксиомы. Потому что тогда они не могли бы вообще заранее знать, что такую теорему удастся доказать. Математики идут от какой-то идеи. Но всё-таки, начав с идеи, они доводят её до строгого доказательства, сводя каждый шаг к использованию аксиом или предыдущих теорем, и стыкуя плотно все шаги. Может быть, результат получается скучнее, чем просто изложенная идея, зато только такой строгий вид доказательства другие математики могут принять на веру. Если этого не сделать, то результат будет не доказанным фактом, а личным мнением какого-то математика.

Математики довели эту процедуру строгости до такого уровня, что с ней может справиться даже машина. Существуют компьютерные системы, которые, стыкуя аксиомы одну с другой, именно перебирая и комбинируя, находят доказательства заданной теоремы, или даже ищут новые теоремы.

[Deggial]

Тема всё-таки закрыта ввиду отсутствия конкретного предмета обсуждения и большого количества оффтопа.Хотя нет. Лучше перенести её в Свободный Полет.

bigarcus в сообщении #750012 писал(а):

ёкрнбабай, да что за наезды?
я на вас всех матом буду кричать, если вы в Третьяковку придете.

bigarcus, за переход на личности можете бан схлопотать.

[Munin]

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #750012 писал(а):

ёкрнбабай, да что за наезды?

Извините, я не хотел обидеть. Просто гуманитарии больше ориентируются на источники, а технари - на цепочку мыслей, которая в них изложена. Эта цепочка может быть одинаковой во многих текстуально разных изложениях. Я подумал, что это причина вашего недоумения.

bigarcus в сообщении #750012 писал(а):

посмотрите здесь http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml около 10 разных способов (2-ое доказательство, 3-ее, 4-ое, 5-ое, 9-ое, 10-ое, 14-ое и др.)
а есть еще и много других по тому же аля-танграм типу

Я был неправ. Буду знать.

bigarcus в сообщении #750020 писал(а):

у меня в школе вроде как раз не на Гильберте основывались, по Атанасяну было, вроде там по Евклиду аксиомы

Аксиомы Евклида в школьные учебники не включают, потому что они с современной точки зрения корявые. В Атанасяне, может быть, как раз Гильберт, уточнить надо.

bigarcus в сообщении #750027 писал(а):

банально: чтобы хорошо понимать. хочу чтобы для меня некоторые вещи стали более очевидными (и легче оперируемыми в голове, наглядными стали многие).

Придётся вас расстроить: чтобы какие-то вещи стали очевидными, легко оперируемыми в голове, наглядными - надо с ними "пуд соли съесть". То есть, начать с ними работать, и много-много раз применять. В вузах это происходит так: на первом курсе что-то дают, потом на 2-3-4 курсах используют постоянно в хвост и в гриву (при изучении более продвинутого материала), и где-то к 5 курсу появляется эта самая очевидность и наглядность :-) Если вы не отдаёте этому все силы, а занимаетесь на уровне хобби, то времени это займёт, соответственно, в разы больше.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: тема полностью вписывается в формат тем Свободного Полета и совершенно не вписывается в формат раздела "Помогите решить".

[Munin]

Otta в сообщении #750033 писал(а):

Переносится все дословно. Больше компонент, и все. Или иначе: все Ваши малоразмерные формулы - это $n$-мерный результат при $n=2$ или $3$ соответственно.

Вот именно. Есть такое действие, как обобщение. Оно вам знакомо, bigarcus, по задачам-загадкам типа "даны числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... продолжите ряд". В математике оно встречается очень часто (хотя бы в этом виде). Так что, математики смотрят на четыре первые члена ряда: 0 - нульмерная геометрия (всё в одной точке, скучноватый, но закономерный случай), 1 - одномерная геометрия (отрезки на прямой), 2 - двумерная геометрия (плоскость и фигуры на ней), 3 - трёхмерная геометрия (пространство, объёмные тела и их поверхности, в том числе и плоскости с рисунками на них). И пытаются продолжать этот ряд дальше. В принципе, это может оказаться неоднозначным действием, но из нескольких вариантов выбирают "наиболее естественный" и "интересный" (или, иногда, рассматривают разные варианты: например, обобщение понятия конечного натурального числа до бесконечного происходит двумя способами: кардинальные и ординальные числа).

И теперь про косинус.

И тогда оказывается, что наши дву- и трёхмерные понятия обобщаются с разной степенью удачности. То, что казалось основным в низких размерностях, становится второстепенным, а то, что казалось второстепенным - становится основным. В частности, векторы и операции с векторами становятся более базовым инструментом, чем черчение углов, измерение длин дуг, и т. п. _hum_ начал, но я продолжу.

К косинусу ведут две основные операции: проекция вектора на прямую, и проекция вектора на плоскость. В 2-мерии они одинаковые, в 3-мерии это уже две разные операции. В $n$-мерии можно спроецировать вектор на любое $k$-мерное плоское подпространство, но наиболее просты и интересны проекции на 1-мерное подпространство (на прямую) и на $n-1$-мерное подпространство (это аналогично проекции на плоскость). В 3-мерном случае, обе проекции дают новый вектор длины $\lvert\mathbf{a}\rvert\cos\varphi,$ вот только под $\varphi$ подразумевается разный угол: либо угол между двумя прямыми (направление вектора и направление прямой, на которую он проецируется), либо угол между прямой и плоскостью. Теперь, эта цепочка в многомерных пространствах разворачивается задом наперёд: сначала определяют (вводят понятие) векторов и их проекций, потом из этих проекций выделяют множитель (в диапазоне $[-1,1]$), который условно называют "косинусом угла", и наконец, от этого множителя берут арккосинус (в смысле обычной функции "косинус", определённой через единичную окружность на плоскости - проверьте, что это валидно для 3-мерного случая), и называют его "углом".

В этом смысле, "косинус угла" в многомерном пространстве оказывается более первичным понятием, чем "угол". И понимать его надо не через угол и единичную окружность, а через проекции векторов на плоские подпространства. А сами эти проекции можно ввести разными эквивалентными способами, и в частности, определив их по формулам через координаты, обобщающим 2- и 3-мерные формулы.

-- 29.07.2013 18:28:25 --

arseniiv в сообщении #750171 писал(а):

Вы же прекрасно понимаете, что как определение косинуса это не подходит.

Почему же не подходит? :-)

[bigarcus]

(Оффтоп)

Скиньте в колодец того, кто вам эту мысль привил.

Про косинус спасибо!, правда пока не осилил ваше сообщение.

[Munin]

Нарисуйте рисунок с вектором и прямой линией. Найдите (на рисунке) проекцию этого вектора. Вычислите её длину, формулой в общем виде.

Нарисуйте вектор с координатами $(2,3),$ найдите его проекцию на ось абсцисс. Найдите его проекцию на прямую $y=-\tfrac{2}{3}x,$ на прямую $y=x.$ Найдите рецепт, как при любых координатах вектора $(a_x,a_y)$ найти его проекцию на прямую $y=kx$ (вообще, прямую $by=cx$).

Нарисуйте рисунок с вектором и плоскостью. Найдите (на рисунке) проекцию этого вектора. Вычислите её длину, формулой в общем виде.

Нарисуйте вектор с координатами $(2,3,1),$ найдите его проекцию на ось абсцисс, и на плоскость $z=0.$