В ОТО нет уже обратимого времени

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

С сингулярностью горизонта, "трудно" согласиться по той причине что в учебниках долго писали что она фиктивная. На самом деле никто никогда не видел чтобы что то там упало под горизонт. Потом дыры с проходимым горизонтом как известно вызывают массу проблем. Несовместимость ОТО и КМ есть не какая то научная проблема, а следствие ошибочных представлений о структуре ЧД.

Но ведь на горизонте нет никакой сингулярности - на ней все геометрические величины - кривизны пространства-времени, а поэтому и все физические величины (в данном случае вакуумное гравитационное поле точечной массы) - однозначно определены, конечны ( в обычных, естественно, функциях, а не в обобщенных). Сферическая система координат также не имеет особенности при $r=a$. Неопределена лишь вспомогательная структура - согласованная с метрикой связность Леви - Чивиты, а также ограниченной областью $r>a$ является система отсчета Шварцшильда - конгруэнция мировых линий неподвижных относительно поля наблюдателей : для них пространство-время разбивается на две несвязанные области, разделённые горизонтом $r=a$. В других системах отсчета мировые линии наблюдателей могут полностью покрыть все пространство-время, исключая истинную сингулярность $r=0$.

Которая сама по себе является лишь следствием чрезмерного абстрагирования в данной модели : допущения центральной симметрии (чего для реальных стационарных объектов быть не может - они начинаются, вроде бы, с аксиальной симметрии (см.Сибгатуллин)) и точечности источника поля (чего также реально нет - при "внешнем" взгляде на элементарные объекты).

Поэтому устранение точечности (а ещё лучше и плюс переход к аксиальной симметрии) должно, казалось бы, ликвидировать эти препятствия на пути понимания внутренней структуры элементарных частиц и природы квантовых свойств пространства-времени (на что, согласитесь, квантовые модели на базе пространства-времени Минковского претендовать не могут. Поэтому традиционная постановка задачи - "квантования" нелинейного гравитационного поля в этом смысле лишена смысла : гравитационное поле в общем случае ни по одному признаку не является классическим полем).

Эти рассуждения приведены для того, чтобы отметить, что особенности данного простейшего решения Шварцшильда уравнений ОТО не могут быть серьёзной неустранимой причиной несовместимости КМ и ОТО. (Желательно, конечно, в эйнштейновской иерархии : ОТО объясняет геометрическую природу квантовых явлений.)

И действительно, введение, помимо массы покоя $m_0$, еще одного "заряда", - электрического $e$, как это следует из решения уравнений, позволяет снять ряд проблем : точечная сингулярность $r=0$, порождавшая кулоновскую расходимость электромагнитного поля, являвшуюся, в свою очередь, источником расходимостей в квантовых плоских моделях, устраняется : точечный источник превращается в незакрывающуюся горловину с радиусом гауссовой кривизны $r_h$, равным "классическому",

$$r_h=\frac{e^2}{m_0c^2}$$

в сопутствующей находящейся внутри элементарной частицы пыли системе отсчета.

Кроме того, устраняется при этом и проблема горизонта Шварцшильда : все известные элементарные частицы, у которых "электрический заряд больше массы" ("гравитационного заряда") : $e\geqslant \sqrt {k}m_0$, - не являются черными дырами и не имеют горизонта событий.

Последнее было очевидно уже из вакуумного решения Рейсснера - Нордстрема с

$$g_{00}=-g_{11}^{-1}=1-\frac{a}{r}+\frac{r_c^2}{r^2}$$

, где

$$r_c=\frac{e\sqrt {k}}{c^2}$$

- т.н. критический радиус : при $e\geqslant \sqrt {k}m_0$ метрика определена всюду, кроме истинной сингулярности $r=0$, в которой был расположен точечный заряд. "Был", потому что это новое решение, описывающее внутренний мир заряда, её устраняет.

Не говоря уже о том, что возникает вроде бы ещё один любопытный эффект : при переходе в несопутствующие системы отсчета пространство-время становится дискретным - разбивается на множество ограниченных областей, периодически непроницаемых для нулевых геодезических (световых траекторий).

[Котофеич]

Связность это не вспомогательная, а центральная конструкция римановой геометрии. Если связность не определена, то кривизна тоже не определена, вне зависимости от того конечно соответствующее формальное выражение или нет. Разумеется никто не может запретить называть геометрией любую конструкцию, какая понравилась.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Связность это не вспомогательная, а центральная конструкция римановой геометрии. Если связность не определена, то кривизна тоже не определена,

Но всё же инвариантной относительно произвольных преобразований является кривизна, тензор Римана - Кристоффеля. Именно её определенность или неопределенность существенна. Не так?

Потом, неопределённость данных конструкций проявляется не в области, а в подпространстве, на гиперповерхности $r=0$, либо на $r=a$. Разве, в силу "непрерывности", к которой когда-то апеллировал Someone, это не допустимо?. "...везде, за исключением конечного числа точек, где ...".

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Связность это не вспомогательная, а центральная конструкция римановой геометрии. Если связность не определена, то кривизна тоже не определена,

Но всё же инвариантной относительно произвольных преобразований является кривизна, тензор Римана - Кристоффеля. Именно её определенность или неопределенность существенна. Не так?

Так кривизна в данном конкретном случае этого проклятого Шварцшильда, определена только формально. В окрестности горизонта связность и соответственно обычная формула для кривизны теряет смысл.

pc20b писал(а):

Потом, неопределённость данных конструкций проявляется не в области, а в подпространстве, на гиперповерхности $r=0$, либо на $r=a$. Разве, в силу "непрерывности", к которой когда-то апеллировал Someone, это не допустимо?. "...везде, за исключением конечного числа точек, где ...".

Это все зависит от того насколько допустимо напсать на законы римановой геометрии и от того какую роль эти конструкции играют в соответствующей физической модели.
Одно время специализды думали, что плохое поведение ЧД связано с тем, что их физическая природа не описывается римановой геометрией, типа того что в окрестности горизонта нужно обобщить саязность путем введения более общей геометрии. Пименов построил финслеров вариант ОТО. Оказалось что сингулярность на горизонте появиляется теперь даже на формальном уровне.
Обычная модель ЧД, которая присутствует в учебниках, она конечно тоже допустима.
В конце концов математика не может решать какие из таких ЧД физические а какие нет.
Потом Вам же нужна дыра где пространство и время под горизонтом поменялись местами

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Так кривизна в данном конкретном случае этого проклятого Шварцшильда, определена только формально. В окрестности горизонта связность и соответственно обычная формула для кривизны теряет смысл.

В том-то вроде и дело, что нет : на горизонте метрика неопределена, связность - расходится, а кривизны всех (гипер) поверхностей, выражающихся через тензор кривизны Римана - Кристоффеля - определены и конечны.

Цитата:

Это все зависит от того насколько допустимо напсать на законы римановой геометрии и от того какую роль эти конструкции играют в соответствующей физической модели.
Одно время специализды думали, что плохое поведение ЧД связано с тем, что их физическая природа не описывается римановой геометрией, типа того что в окрестности горизонта нужно обобщить саязность путем введения более общей геометрии. Пименов построил финслеров вариант ОТО. Оказалось что сингулярность на горизонте появиляется теперь даже на формальном уровне.

Вроде, так. И ОТО в общем-то не связана с одной лишь римановой геометрией как гладким многообразием (ниличие особенностей на гиперповерхностях, другой связности, другой метризации вполне, очевидно, допустимо. И наличие, более того, неизбежность сингулярностей как следствия как симметрии, так и "гиперболичности" нелинейных дифференциальных уравнений, по сути являющихся "источниками" этого единого накрывающего все "физические" поля гравитационного поля, допустимо, очевидно.

Аппарат обобщенных функций в этой ситуации просто помогает найти решение в случае сложной геометрии, не описываемой подходящей симметрией системы координат (допустим, для описания центрально симметричного поля с точечной сингулярностью вполне достаточно сферической системы координат и "обычных" функций (которые, по большому счету, от обобщенных мало чем отличаются).

Цитата:

В конце концов математика не может решать какие из таких ЧД физические а какие нет.
Потом Вам же нужна дыра где пространство и время под горизонтом поменялись местами

Не может не иметь основания и такой взгляд. что в физике столько физики, сколько математики.

А R- и Т- области, разделенные горизонтом, нужны для того, чтобы они описывали возникновение "дискретности пространства-времени в исходно "непрерывном" гравитационном поле (типа стиральной доски, если на неё смотреть "вскользь").

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Так кривизна в данном конкретном случае этого проклятого Шварцшильда, определена только формально. В окрестности горизонта связность и соответственно обычная формула для кривизны теряет смысл.

В том-то вроде и дело, что нет : на горизонте метрика неопределена, связность - расходится, а кривизны всех (гипер) поверхностей, выражающихся через тензор кривизны Римана - Кристоффеля - определены и конечны.

Дело в том, что кака раз да. Кривизна определяется через параллельный перенос вектора вдоль заданного бесконечно малого контура. Если связность не определена, то параллельный перенос тнряет смысл и кривизна будет не пришей кобыле хвост
Посмотрите формулу для изменения вектора при переносе вдоль контура у ЛЛ.2 Гл.ХI например. Чтобы эта формула имела смысл, регуляризация коэффициентов связности, проводится на самом деле уже в этой формуле.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Дело в том, что кака раз да. Кривизна определяется через параллельный перенос вектора вдоль заданного бесконечно малого контура. Если связность не определена, то параллельный перенос тнряет смысл и кривизна будет не пришей кобыле хвост Exclamation
Посмотрите формулу для изменения вектора при переносе вдоль контура у ЛЛ.2 Гл.ХI например. Чтобы эта формула имела смысл, регуляризация коэффициентов связности, проводится на самом деле уже в этой формуле.

Да, спасибо. Но, в выражение (91,3) (ЛЛ, 62), по сути в определение тензора кривизны, связность явно не входит :

$$\Delta A_k=\frac12R^i_{klm}A_i\Delta f^{lm}$$

.

Не говорит ли это о том, что связность, как, собственно, и метрика, в определённом смысле вспомогательные структуры?

[Котофеич]

Исходной для введения кривизны и ее последующего явного определения (91.4), является формула (91.1) ЛЛТ2 и никак иначе
91.1$$\Delta A_k=\int{ \Gamma^i_{kl}A_i}dx^{i}$$.
И только после преобразований интеграла в правой части мы имеем
91.3$$\Delta A_k=\frac12R^i_{klm}A_i\Delta f^{lm}$$.
Откуда следует (91.4).
Таким образом связность является необходимым исходным понятием для введения кривизны.
Таким образом уже исходное определение изменения вектора при параллельном переносе вдоль замкнутого контура на горизанте, будет некорректным если не ввести регуляризацию метрики, что приводит к соответствующей регуляризации связности.То что формальное выражение для кривизны (91.4) не содержит расходимостей, так это не означает что кривизна там конечна. Она даже просто не определена в силу того что связность расходится
Должен заметить что в современных монографиях по диф.геометрии и ОТО кривизна действительно вводится путем прямого определения, что и создает неверное впечатление... Но нужно иметь ввиду что все эти книжицы расчитаны на людей которые изучали и классический курс дифгеометрии и понимают что кривизна есть количественная характеристика свойств параллельного переноса
В учебниках (например ЛЛ2) часто пишут, что сингулярность на горизонте чисто кодинатная, потому что ее можно исключить соответствующим преобразованием Леметра. При этом забывают что преобразование Леметра сингулярно, а в римановой геометрии допустимы только гладкие преобразования координат. На самом деле Шварцшильд и Леметр это два разных обобщенных решения ОТО. При сингулярных преобразованиях может происходить стирание части особенностей исходного решения, что не удивительно и просто тривиально.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Исходной для введения кривизны и ее последующего явного определения (91.4), является формула (91.1) ЛЛТ2 и никак иначе Exclamation
91.1

$$\Delta A_k=\int{ \Gamma^i_{kl}A_i}dx^{i}$$

.
И только после преобразований интеграла в правой части мы имеем
91.3

$$\Delta A_k=\frac12R^i_{klm}A_i\Delta f^{lm}$$

.
Откуда следует (91.4).
Таким образом связность является необходимым исходным понятием для введения кривизны.
Таким образом уже исходное определение изменения вектора при параллельном переносе вдоль замкнутого контура на горизанте, будет некорректным если не ввести регуляризацию метрики, что приводит к соответствующей регуляризации связности.То что формальное выражение для кривизны (91.4) не содержит расходимостей, так это не означает что кривизна там конечна. Она даже просто не определена в силу того что связность расходится

Хотелось бы заметить, что в (91,1) интеграл берется от 4-вектора, что в общем случае может оказаться некорректной операцией (однозначно определены лишь интегралы от р-форм по р-многообразиям). Тем не менее, получается верное окончательное выражение (91,3). Именно по этому соображению предложено было считать его определением тензора кривизны, а выражение его через связность (91,4) - лишь одним из способов его вычисления, в данном случае, через символы Кристоффеля.

Цитата:

Должен заметить что в современных монографиях по диф.геометрии и ОТО кривизна действительно вводится путем прямого определения, что и создает неверное впечатление... Но нужно иметь ввиду что все эти книжицы расчитаны на людей которые изучали и классический курс дифгеометрии и понимают что кривизна есть количественная характеристика свойств параллельного переноса

Да, но кривизна является мерой не только параллельного переноса, но и другой, нелокальной процедуры - девиации геодезических. Может, это определение кривизны более универсально?

Цитата:

в римановой геометрии допустимы только гладкие преобразования координат.

Разве это не означает, что геометрия ОТО - не риманова?

[Котофеич]

В формуле
91.1

$$\Delta A_k=\int{ \Gamma^i_{kl}A_i}dx^{i}$$

В случае Шварцшильда мы имеем

$$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

.
Тем самы 91.1 теряет смысел на горизонте.
Вы говорите ну и что из того ведь кривизна тем не менее конечна. Но из того что

$$\frac{1} {x} x=1 if x\neq0$$

нельзя сделать вывод что и

$$\frac{1} {0} 0=1 $$

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Должен заметить что в современных монографиях по диф.геометрии и ОТО кривизна действительно вводится путем прямого определения, что и создает неверное впечатление... Но нужно иметь ввиду что все эти книжицы расчитаны на людей которые изучали и классический курс дифгеометрии и понимают что кривизна есть количественная характеристика свойств параллельного переноса

pc20b писал(а):

Да, но кривизна является мерой не только параллельного переноса, но и другой, нелокальной процедуры - девиации геодезических. Может, это определение кривизны более универсально?

Я не думаю что можно конструктивно развить разумное обобщение римановой геометрии исходя из такого определения. Хотя можно попытаться.

Цитата:

в римановой геометрии допустимы только гладкие преобразования координат.

pc20b писал(а):

Разве это не означает, что геометрия ОТО - не риманова?

Разумеется но только в части ЧД. Однако я имел в виду что физики работают с такими преобразованиями чисто формально как с гладкими, не понимая что сингулярное преобразование дает другой фисический объект

[ddn]

Котофеич писал(а):

:evil:В формуле
91.1

$$\Delta A_k=\int{ \Gamma^i_{kl}A_i}dx^{i}$$

В случае Шварцшильда мы имеем

$$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

.
Тем самы 91.1 теряет смысел на горизонте.
Вы говорите ну и что из того ведь кривизна тем не менее конечна. Но из того что

$$\frac{1} {x} x=1 if x\neq0$$

нельзя сделать вывод что и

$$\frac{1} {0} 0=1 $$

Дело в том, что компоненты тензора в некоторой точке имеют разный вид в разных системах координат, компоненты тензора - это координаты точки в конфигурационном пространстве значений (касательном пространстве) этого тензора, система координат в котором задается системой координат уже в самом физическом пространстве вблизи указанной точки. Касательное пространство - это пространство значений тензора в абсолютном смысле, безотносительно к какой-либо системе координат! Сама точка в касательном пространстве (значение тензора) может и не быть особенной (несобственной), а особенности ее координат (компонент тензора), могут быть вызваны лишь особенностью системы координат физического пространства.

Как раз сама шварцшильдова система координат является особенной, раз она приводит к "мнимым" особенностям решения, и применяя к ней сингулярное преобразование мы лишь восстанавливаем неособенное решение. Допустимость решения Крускалла (или другого везде регулярного решения) не устанавливается преобразованием координат решения шварцшильда (потому сингулярный характер преобразования не опасен для этого качества), допустимость решения проверяется непосредственной подстановкой его в уравнения ОТО и заданные граничные условия (для ЧД в шварцшильдовых координатах это возможно не везде - без применения обобщенных функций).

Нужно определить понятие особенности точки в абсолютном смысле, то есть безотносительно к системе координат вблизи нее и, значит, безотносительно к системе координат в касательном тензорном пространстве этой точки.
Вопрос здесь в том, какие именно точки считать действительно особенными, а какие "мнимо" особенными - в силу особенности самой системы координат. Ведь совершенно любую точку можно взять и превратить в особенную подходящим выбором системы координат Значит, особенность компонент тензора связности в этой точке - это еще не признак особенности самой точки, иначе просто ВСЕ точки окажутся особенными.

Если "тензор" имеет две компоненты: $a$ и $b$ и единственный инвариант $c=a*b$ (координаты зависимы, касательное пространство одномерно), то любая собственная точка касательного пространства (задаваемая некоторым $c \in \mathbb{R}_+$) в некоторой особенной системе координат физического пространства будет иметь коодинаты $a=0$ и $b=\infty$, а произведение $a*b$ не имеющем смысла, хотя $c$ по прежнему будет определено - теряет смысл лишь соотношение $c=a*b$, а не сам инвариант $c$ То есть $c$ - первично , оно не определятся через $a$ и $b$, наоборот: $a$ и $b$ определяются через $c$ и систему координат физического пространства, это они - вторичны, и в некоторых системах координат $a$ и $b$ не определены, либо принимают несобственные значения и неопределено соотношение между $a$, $b$ и $c$.

Цитата:

в римановой геометрии допустимы только гладкие преобразования координат.

Допустимость того или иного преобразования координат определяется исключительно допустимостью некоторого решения в тех двух системах координат, которые данное преобразование переводит одно в другое. Но не на оборот: допустимость того или иного решения не должна определяться через допустимость некоторого преобразования координат - только через соответствие уравнениям ОТО.

Котофеич писал(а):

Разумеется но только в части ЧД. Однако я имел в виду что физики работают с такими преобразованиями чисто формально как с гладкими, не понимая что сингулярное преобразование дает другой фисический объект

Уверены, что решение в другой системе координат (пусть и сингулярной) дает именно ДРУГОЙ физический объект?!!
Ведь к любым особенным системам координат, можно всегда приблизиться неособенными системам координат, где объект будет все еще тем же.

[Котофеич]

Еще раз поторяю. В римановой геометрии нет никаких особенностей.

[ddn]

Котофеич писал(а):

:evil: Еще раз поторяю. В римановой геометрии нет никаких особенностей.

В некоторой системе координат. Но та или иная система координат не является свойством самого пространства и материи. Нужно эльминироваться от конкретных координат, рассмотреть абсолютные свойства метрики и материи.

Если перейти к другой системе координат сингулярным преобразованием, то может появиться "мнимая" особенность и притом - в любой точке. Особенность на горизонте ЧД в шварцильдовых координатах связана с изначальной особенностью этих координат. Если решать в других координатах, ее не возникнет, а при переходе к шварцильдовым координатам решения метрически совпадут во всех точках, кроме горизонта ЧД, где преобразование сингулярно. Впрочем, если расширить метрику за счет несобственных (обобщенных) значений компонентов тензора связности, "дурная" особенность в тензоре исчезнет (хотя сингуляность останется) .

Риманова геометрия допускает и истинные особенности: в отдельных точках, линиях и поверхностях, например: точка $r=0$ ЧД, начало Большого Взрыва, космические струны, браны и прочее.
Можно, конечно, и не включать эти точки в риманово пространство - выколоть их, но заранне ведь не известно, где у решения возникнет особенность - это зависит от метрики, а значит от начальных и граничных условий. Это означает зависимость от материи не только метрики, но и топологии пространства - а топологическая динамика это абсолютно патологическая вещь. Топология пространства должна задаваться изначально и ни в коем случае не меняться!

[Котофеич]

ddn писал(а):

Котофеич писал(а):

:evil: Еще раз поторяю. В римановой геометрии нет никаких особенностей.

В некоторой системе координат

Я же ясно сказал, что ни в единой их нет. Не нужно фантазировать. Откройте учебник и почитайте определение риманова пространства.

[pc20b]

ddn

Цитата:

ведь не известно, где у решения возникнет особенность - это зависит от метрики, а значит от начальных и граничных условий. Это означает зависимость от материи не только метрики, но и топологии пространства - а топологическая динамика это абсолютно патологическая вещь. Топология пространства должна задаваться изначально и ни в коем случае не меняться!

Это интересный момент. Не могли бы Вы рассказать, почему топология должна задаваться заранее не должна меняться.

Дополнение к вопросу :

Цитата:

Если перейти к другой системе координат сингулярным преобразованием, то может появиться "мнимая" особенность и притом - в любой точке. Особенность на горизонте ЧД в шварцильдовых координатах связана с изначальной особенностью этих координат. Если решать в других координатах, ее не возникнет, а при переходе к шварцильдовым координатам решения метрически совпадут во всех точках, кроме горизонта ЧД, где преобразование сингулярно.

Вот эта операция очень любопытна. Потому что, если перейти к другой системе координат сингулярным преобразованием (с особенностями в якобиане на каком-то подмногообразии), то возможен и другой, противоположный случай : "мнимая" особенность, присутствовавшая в старой системе координат (из-за её ограниченности. Например, в решении Шварцшильда в координатах кривизн $g_{22}(r)=-r^2$, в которых невозможны ситуации $g_{22},_r=0$ ), исчезнет. Либо возникнет ещё какое-то новое, чисто геометрическое свойство. Преобразованная метрика будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна. Вопрос : когда это можно считать лишь переходом к "расширенной" системе координат (с большими возможностями), а когда "другим" решением?