Матрица

[Padawan]

Дана дейcтвительная матрица $A=(a_{ij}), i,j=1..n, 0\leq a_{ij}\leq 1$. На главной диагонали - единички. Доказать, что система линейных уравнений
$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = 1, i=1..n$
имеет неотрицательное решение $x_i\geq 0, i=1..n$.

[worm2]

Или я чего-то не понял, или одно из двух. Вот смотрите:

$$A = \left(\begin{array}{ccc}1&0.5&0.4\\0.5&1&1\\1&1&1\end{array}\right)$$

.
Решение системы $Ax = \left(\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right)^T$ единственно: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$, $x_3 = -5$. А если поменять первую строчку на $\begin{array}{ccc}1&0.5&0.5\end{array}$, то решения вовсе не будет.

[Руст]

Думаю ничего не путаете. Я так же пробовал решать и засомневался. Так как для 2*2 матриц верно., контрпример надо было искать в размере 3*3 и я поленился.
Единственное, что можно доказать о такой матрице А это то, что максимальное собственное значение не меньше 1 и собственный вектор имеет неотрицательные коэффициенты (точнее можно выбрать знак так).

[Padawan]

Ну тогда так - единички только на диагонали. Неужели тоже нет???

[Руст]

Padawan писал(а):

:( Ну тогда так - единички только на диагонали. Неужели тоже нет???

В этом случае доказывать ничего.
Можно попробовать исправить,типа сумма недиагональных элементов в ряду меньше диагонального.

[Padawan]

Руст писал(а):

Padawan писал(а):

:( Ну тогда так - единички только на диагонали. Неужели тоже нет???

В этом случае доказывать ничего.

То есть утверждение верно? Я подумал, что если чуть-чуть подшевелить коэффициенты вышеприведенного контрпимера, то тоже получится контрпример.

[Руст]

Я имел в виду доказывать ничего для единичной матрицы (всё верно) и доказывать ничего, когда 1 меняется например 0.999 (ничего не меняется по сути).
Как исправлять я уже высказался.

[Padawan]

Всем спасибо за помощь!