Делить доказательство ВТФ на два случая нет необходимости

[lasta]

Деление доказательства ВТФ на два случая отпадает, если принять во внимание, что если бы существовало хотя бы одно решение в целых числах уравнения $x^n+y^n=z^n$ для произвольного показателя, то любую степень можно было бы представить суммой двух степеней с рациональными основаниями. Действительно, пусть имеется хотя бы одно решение для произвольного целого показателя $n>2$, то есть существует равенство

(1) $a^n+b^n=c^n$ или

(2) $(a/c)^n+(b/c) ^n =1 $

Тогда, умножив на (2) любую степень $d^n$ с произвольным показателем $n>2$ и целым основание, мы получили бы


(3) $ (da/c)^n+ (db/c)^n= d^n\cdot1$

Следовательно, при существовании равенства (1) (существование хотя бы единственного решения), любая степень с натуральным основанием при произвольном показателе представима суммой двух степеней с рациональными основаниями при том же произвольном показателе.
Очевидно и обратное, – невозможность представления хотя бы одной степени с произвольным показателем суммой двух других степеней с рациональными основаниями и тем же произвольным показателем доказывает справедливость ВТФ в целом. Будет степень кратна показателю или нет не имеет никакого значения. Например: - достаточно доказать невозможность представления степени $2^n$, суммой двух других степеней с рациональными (очевидно, что данная степень не представима суммой двух степеней с целым основанием) основаниями с тем же произвольным показателем $n>2$.
Известно, что для доказательства ВТФ в целом, достаточно доказать ее для произвольного простого показателя $p>2$.
Сначала, как требует этого форум покажем справедливость теоремы для $p=3$. Подставим значения в (3), считая, что $(a,b,c)$ минимальная возможная тройка решения уравнения Ферма и учитывая, что согласно формулам Абеля, $c$ является составным числом.

(4) $ (2a/c)^3+ (2b/c)^3= 2^3$

С учетом минимальности тройки чисел решения $c$ не может быть кратной $2$. Так как в этом случае, приняв $c=2c_1$, получим

(5) $ (a/c_1)^3+ (b/c_1)^3= 2^3$, тогда

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,
с учетом (5), то есть представимости, $2^3$ двумя другими степенями

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

(8) $ (2 a_1/c_1)^3+(2b_1/c_1)^3= 2^3$,

И в этом случае минимальным решением уже будет тройка $(a_1,b_1,c_1)$

Таким же образом, используя (7) мы докажем и для степени $3^3$ минимальное решение не допускает кратности $3$. Напомним, что существование даже единственного решение (7) давало бы нам возможность представления любой степени двумя другими степенями с рациональными основаниями.
Поэтому, продолжая перебирать степени с другими простыми основаниями, $(5^3, 7^3,…..p^3)$ при каком угодно большом $p$ мы получим , что минимальное решение не позволяет основанию $c_1$ быть кратным любому простому числу, но это невозможно, так как $c_1$ есть произведение взаимно простых чисел. И этот механизм справедлив для любого произвольного показателя $p>2$. В нашем доказательстве достаточно заменить показатель 3 на произвольный $p$. И только для $p=2$ наши рассуждения не могут быть применены, так как сумма квадратов равная квадрату не разложима в произведение взаимно простых чисел. Например, использованием одной только минимальной тройки $(3,4,5)$, можно представить любой квадрат суммой двух квадратов с рациональными основаниями ( $49=49\cdot16/25+49\cdot9/25=(28/5)^2+(21/5)^2$, и т.п.). 25 не разлагается в произведение простых чисел, но оно существует, так как сократимо полностью при разложении этого же числа $25=25\cdot16/25+25\cdot9/25=16+9$, в отличии от степеней $p>2$, где ни одна степень с основанием равным простому числу в связи с минимальностью решения не может являться сомножителем$c_1$. Но $c_1$ должно разлагаться на взаимно простые числа. Это и говорит о том, что $c_1$ вообще не существует, и Великая теорема Ферма доказана полностью.

[lasta]

Наиболее трудное место в понимании появления бесконечного спуска. Действительно, равенства (5) и (6) утверждают, что после сокращения степень с произвольным простым основанием снова представима суммой двух степеней умножением этой степени на $1$. Но, $1$ равна сумме рациональных дробей, полученных из минимальной тройки. Минимальное решение -единственно. Другой тройки с меньшими значениями $a_1,b_1,c_1$ не может существовать. Поэтому ни каких алгебраических преобразований для нахождения не существующих $a_1,b_1$ не существует. Они не существуют только потому, что не может существовать $c_1$. Отсюда и следует вывод, что $c$ не может делиться на произвольное простое число. Следовательно $c$ - иррациональное число.

[Deggial]

Тема закрыта как логическое продолжение предыдущеий темы Первый и второй случаи ВТФ (простое доказательство), унесенной в Пургаторий.
lasta, предупреждение за дублирование темы.