Первый и второй случаи ВТФ (простое доказательство)

[lasta]

Деление доказательства ВТФ на два случая отпадает, если принять во внимание, что если бы существовало хотя бы одно решение в целых числах уравнения $x^n+y^n=z^n$ для произвольного показателя, то любую степень можно было бы представить суммой двух степеней с рациональными основаниями. Действительно, пусть имеется хотя бы одно решение для произвольного целого показателя $n>2$, то есть существует равенство

(1) $a^n+b^n=c^n$ или

(2) $(a/c)^n+(b/c) ^n =1 $ ]

Тогда, умножив на (2) любую степень $d^n$ с произвольным показателем $n>2$ и целым основание, иы получили бы


(3) $ (da/c)^n+ (db/c)^n= d^n_1$

Следовательно, при существовании равенства (1) (существование хотя бы единственного решения), любая степень с натуральным основанием при произвольном показателе представима суммой двух степеней с рациональными основаниями при том же произвольном показателе.
Очевидно и обратное, – невозможность представления хотя бы одной степени с произвольным показателем суммой двух других степеней с рациональными основаниями и тем же произвольным показателем доказывает справедливость ВТФ в целом. Будет степень кратна показателю или нет не имеет никакого значения. Например: - достаточно доказать невозможность представления степени $2^n$, суммой двух других степеней с рациональными (очевидно, что данная степень не представима суммой двух степеней с целым основанием) основаниями с тем же произвольным показателем $n>2$.
Известно, что для доказательства ВТО в целом достаточно доказать ее для произвольного простого показателя $p>2$.
Сначала, как требует этого форум покажем справедливость теоремы для $p=3$. Подставим значения в (3), считая, что $(a,b,c)$ минимальная возможная тройка решения уравнения Ферма и учитывая, что согласно формулам Абеля, $c$ является составным числом.

(4) $ (2a/c)^3+ (2b/c)^3= 2^3$

С учетом минимальности тройки чисел решения $c$ не может быть кратной $2$. Так как в этом случае, приняв $c=2c_1$, получим

(5) $ (a/c_1)^3+ (b/c_1)^3= 2^3$, тогда

(6) $ 2^c_1^3/c_1^3= 2^3$,
с учетом (5), то есть представимости, $2^3$ двумя другими степенями

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

(8) $ (2 a_1/c_1)^3+(2b_1/c_1)^3= 2^3$,

И в этом случае минимальным решением будет тройка $(a_1,b_1,c_1)$

Таким же образом, используя (7) мы докажем и для степени $3^3$ минимальное решение не допускает кратности $3$. Напомним, что существование даже единственного решение (7) давало бы нам возможность представления любой степени двумя другими степенями с рациональными основаниями.
Поэтому, продолжая перебирать степени с другими простыми основаниями, $(5^3, 7^3,…..p^3)$ при каком угодно большом $p$ мы получим , что минимальное решение не позволяет основанию $c_1$ быть кратным любому простому числу, но это невозможно, так как $c_1$ есть произведение взаимно простых чисел. И этот механизм справедлив для любого произвольного показателя $p>2$. В нашем доказательстве достаточно заменить показатель 3 на произвольный $p$. И только для $p=2$ наши рассуждения не могут быть применены, так как сумма квадратов равная квадрату не разложима в произведение взаимно простых чисел. Например, использованием одной только минимальной тройки $(3,4,5)$, можно представить любой квадрат суммой двух квадратов с рациональными основаниями ( $49=49\cdot16/25+49\cdot9/25=(28/5)^2+(21/5)^2$, и т.п.). 25 не разлагается в произведение простых чисел, но оно существует, так как сократимо полностью при разложении этого же числа $25=25\cdot16/25+25\cdot9/25=16+9$, в отличии от степеней $p>2$, где ни одна степень с основанием равным простому числу в связи с минимальностью решения не может являться сомножителем$c_1$. Это и говорит о том, что $c_1$ вообще не существует.

[nnosipov]

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Для простого числа $p$ любое число не кратное $p$ можно представить в виде
$a= p k \pm \frac{p-1}{2}$.

Это верно только для $p=3$.

[lasta]

!

[nnosipov]

lasta в сообщении #482466 писал(а):

При делении любого числа на $p$ остаток не может быть больше чем \pm \left(\frac{p -1}{2}\right)

Не забывайте окружать формулы знаками доллара. Конечно, абсолютно наименьший остаток не может быть больше $(p-1)/2$. Но он вполне может оказаться меньше указанной величины.

[Алексей К.]

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Для простого числа $p$ (возьму 7 — А.К.) любое число не кратное $p$ (возьму 100 — А.К.) можно представить в виде $a= p k \pm \frac{p-1}{2}$.

$100= 7 k \pm \dfrac{6}{2}$, $k=\dfrac{100\pm3}{7}$. Плюс брать или минус?

[lasta]

nnosipov в сообщении, писал(а):

- Конечно, абсолютно наименьший остаток не может быть больше $(p-1)/2$. Но он вполне может оказаться меньше указанной величины.

Благодарю за найденную ошибку. Мое утверждение доказывает лишь некоторые частные случаи. Над общим случаем надо подумать. Прошу Супермодератора перенести мое собщение в карантин.

[AKM]

lasta в сообщении #482524 писал(а):

Прошу Супермодератора перенести мое собщение в карантин.

Я перенёс, но я простой модератор. Если Вы настаиваете на участии Супермодератора, это дело можно переиграть.

Ежели Вы реально намерены исправлять тему, советую Вам также обратить внимание на следующее:

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Первый случай Ферма не существует

"случай Ферма" — это как-то не очень по-русски. Предлагаю не глотать слова.
"Случай ... не существует" — послушайте эту фразу! — это совсем не по-русски. Напишите нормально, однозначно, понятно: "Теорема такая-то не выполнена" (или выполнена?), "(Некое) уравнение не имеет решений", итп.

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Любое число не кратное $3$ можно представить в виде $a=3 k \pm 1$. ($k$ - свойство кратности показателю).Тогда,
$a^3=(3 k)^3\pm3(3 k)^2+3 3 k\pm1$.

1. Если $k$ — свойство, то как? его? можно? умножать? на 3???
2. Что такое "свойство кратности показателю"???
3. Выучите и используйте формулу $(x+y)^3=\ldots$: коэффициент 33 никак не может появиться в этом выражении.
4. Ну, раз пошла такая пьянка, можно выделить запятыми "не кратное трём", и убрать запятую после "Тогда". (Боюсь, если Вы затребуете Супермодератора, то он затребует ещё больше запятых.)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
вернул

[migmit]

lasta в сообщении #482460 писал(а):

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

Не уловил, что такое $a_1$?

[lasta]

migmit в сообщении #748302 писал(а):

lasta в сообщении #482460 писал(а):

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

Не уловил, что такое $a_1$?

Уважаемый Migmit!
$a_1$ - число нового минимального решения, которое получается в случае если $c=2c_1$. В этом случае имеем новое уравнение (6) (В формуле досадная опечатка).Правильно так

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,

В силу существования рационального решения (5) мы и получаем (6), (7) и (8)

[migmit]

lasta в сообщении #748368 писал(а):

migmit в сообщении #748302 писал(а):

lasta в сообщении #482460 писал(а):

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

Не уловил, что такое $a_1$?

Уважаемый Migmit!
$a_1$ - число нового минимального решения, которое получается в случае если $c=2c_1$.

Не понял, почему "новое минимальное решение" должно существовать.

[lasta]

migmit в сообщении #748431 писал(а):

Не понял, почему "новое минимальное решение" должно существовать.

Потому что после сокращения знаменателя дробей на $2^3$. появляется новое равенство (5), где дробные степени представлены с другим знаменателем. Но правая часть (5) остается неизменной. Поэтому левая часть равенства (5) должна делиться на $2^3$. Что возможно только при существовании (6), то есть

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,

Поэтому, учитывая существование равенства (5) мы и приходим к выводу о существовании равенства (7)

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$,

то есть нового минимального решения

[nnosipov]

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Сначала, как требует этого форум покажем справедливость теоремы для $p=3$. Подставим значения в (3), считая, что $(a,b,c)$ минимальная возможная тройка решения уравнения Ферма и учитывая, что согласно формулам Абеля, $c$ является составным числом.

(4) $ (2a/c)^3+ (2b/c)^3= 2^3$

С учетом минимальности тройки чисел решения $c$ не может быть кратной $2$. Так как в этом случае, приняв $c=2c_1$, получим

(5) $ (a/c_1)^3+ (b/c_1)^3= 2^3$, тогда

(6) $ 2^c_1^3/c_1^3= 2^3$,
с учетом (5), то есть представимости, $2^3$ двумя другими степенями

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

(8) $ (2 a_1/c_1)^3+(2b_1/c_1)^3= 2^3$,

И в этом случае минимальным решением будет тройка $(a_1,b_1,c_1)$

Очень мутно написано. Нужно подробно и ясно объяснить, как из тройки $(a,b,c)$ получается тройка $(a_1,b_1,c_1)$.

[lasta]

nnosipov в сообщении #748511 писал(а):

lasta в сообщении #482460 писал(а):

Сначала, как требует этого форум покажем справедливость теоремы для $p=3$. Подставим значения в (3), считая, что $(a,b,c)$ минимальная возможная тройка решения уравнения Ферма и учитывая, что согласно формулам Абеля, $c$ является составным числом.

(4) $ (2a/c)^3+ (2b/c)^3= 2^3$

С учетом минимальности тройки чисел решения $c$ не может быть кратной $2$. Так как в этом случае, приняв $c=2c_1$, получим

(5) $ (a/c_1)^3+ (b/c_1)^3= 2^3$, тогда

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,
с учетом (5), то есть представимости, $2^3$ двумя другими степенями

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$.

(8) $ (2 a_1/c_1)^3+(2b_1/c_1)^3= 2^3$,

И в этом случае минимальным решением будет тройка $(a_1,b_1,c_1)$

Очень мутно написано. Нужно подробно и ясно объяснить, как из тройки $(a,b,c)$ получается тройка $(a_1,b_1,c_1)$.

Уважаемый nnosipov!

В равенстве (6) была досадная опечатка. Правильно

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,

После сокращения знаменателя дробей на $2^3$. появляется новое равенство (5), где дробные степени представлены с другим знаменателем. Но правая часть (5) остается неизменной. Поэтому левая часть равенства (5) должна делиться на $2^3$. Что возможно только при существовании (6), то есть

(6) $ 2^3c_1^3/c_1^3= 2^3$,

Поэтому, учитывая существование равенства (5) мы и приходим к выводу о существовании равенства (7)

(7) $c_1^3=a_1^3+b_1^3$,

[nnosipov]

lasta в сообщении #748528 писал(а):

В равенстве (6) была досадная опечатка.

Дело не в опечатке. Могу только повторить:

nnosipov в сообщении #748511 писал(а):

Нужно подробно и ясно объяснить, как из тройки $(a,b,c)$ получается тройка $(a_1,b_1,c_1)$.