Научите понимать косинус

[bigarcus]

а бесконечным вектор быть не может?

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #749339 писал(а):

бесконечным

Смотря что называть бесконечным. Вектор "в обычном школьном евклидовом пространстве" не может.
Вообще, Вы там, я вижу, упоминали бесконечную длину. Длина - это число, а бесконечность - это не число. Что Вы имели в виду?

[arseniiv]

Оси координат — это подпространства (аффинного пространства). Одного вектора, чтобы получилось подпространство, мало — если сложить его с началом координат, получится одна точка. Если взять линейную оболочку базисного вектора и прибавить к началу координат, то получится как раз ось. Аффинная система координат (прямоугольная — частный случай) — это точка — начало координат — из аффинного пространства и базис из присоединённого векторного.

[bigarcus]

Xaositect в сообщении #749341 писал(а):

Длина - это число, а бесконечность - это не число.

хорошо. понятно

[Oleg Zubelevich]

arseniiv в сообщении #749342 писал(а):

Одного вектора, чтобы получилось подпространство, мало — если сложить его с началом координат, получится одна точка

с чем с чем надо сложить вектор чтоб получить точку? .

[bigarcus]

А нулевой вектор чем от точки отличается?

[Oleg Zubelevich]

тем, что это элементы разных множеств

[bigarcus]

а что, скажем, число 1 как элемент множества действительных чисел, и число 1 как элемент множества комплексных чисел это разные вещи?
ведь все действия, т.е. обращения с ними олдинаковы.

-- Пт июл 26, 2013 15:25:38 --

стул на котором я сижу может входить и в множество деревянных предметов и в множество домашней мебели
он от этого меняется?

[Oleg Zubelevich]

меня не интересует ваше мнение. на вопросы по делу могу ответить

[Aritaborian]

$\mathbb R\subset \mathbb C$, да, но это к делу не относится. И стулья тоже к делу не относятся. Точки это точки, а векторы это векторы.

[Munin]

Otta в сообщении #749288 писал(а):

Упоминание о евклидовости - это, по факту, попытка тянуть. Что бы Вы об этом ни думали.

Это, по факту, попытка объяснить что-то человеку на языке, который он уже знает.
Впрочем, тут уже столько объясняющих собралось, что им сначала между собой договориться надо, и всё равно будет "у семи нянек дитя без глаза". Одна надежда, на longstreet, что он в конце разгребёт бардак в голове bigarcus.

bigarcus в сообщении #749325 писал(а):

а в обычном школьном евклидовом пространстве декартова система координат оси x, y, иногда z это вектора или нет?
направление есть, длина бесконечная, почему бы и нет

Дело в том, что "бесконечность" - не есть элемент множества чисел. Ни натуральных, ни целых, ни действительных. Ну и, оси полезны немножко другим: проекциями точек на эти оси. Я понимаю ваше желание обобщить что-то, после того, как вы познакомились с понятием обобщения, но не всегда это удачная идея, и в давно разработанных математических теориях обычно выбран такой уровень, который реально самый удобный.

Впрочем, если ваше обобщение позволит построить интересную, содержательную математическую теорию, решающую или упрощающую какие-то проблемы, дерзайте. Может быть, вы наш будущий Лобачевский или Грассман.

bigarcus в сообщении #749330 писал(а):

а кстати каких свойств нет?
вроде коммут. и ассоц. есть

А вот это вы должны были сами проверить, до того, как вам на это указали собеседники. Вы же операцию предлагаете.

-- 26.07.2013 16:59:36 --

bigarcus в сообщении #749371 писал(а):

а что, скажем, число 1 как элемент множества действительных чисел, и число 1 как элемент множества комплексных чисел это разные вещи?
ведь все действия, т.е. обращения с ними олдинаковы.

-- Пт июл 26, 2013 15:25:38 --

стул на котором я сижу может входить и в множество деревянных предметов и в множество домашней мебели
он от этого меняется?

Дело именно не в множествах, а в действиях. Все действия с 1 как с элементом множества действительных чисел - это такие же действия, которые с ним происходят как с элементом множества комплексных чисел. Со стульями такие операции можно ввести не всегда.

Множество типа множества действительных чисел, то есть, множество со введённой на нём одной или несколькими операциями, называется не просто множеством, а другим словом, например, группой, решёткой, кольцом, телом, полем. Поэтому, в математике чаще всего говорят о поле действительных или комплексных чисел. Есть и другие поля, например, поля многочленов. Иногда рассматривают несколько взаимосвязанных множеств, и получаются модули, векторные пространства, алгебры. Всё это изучают в учебнике по общей алгебре.

[Oleg Zubelevich]

Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия -- учебник ,который кроме линейных пространств содержит основные понятия аффинных пространств

-- Пт июл 26, 2013 16:01:35 --

Munin в сообщении #749377 писал(а):

Поэтому, в математике чаще всего говорят о поле действительных или комплексных чисел. Есть и другие поля, например, поля многочленов.

жесть! что только не узнаешь от этого Munin
-а

[Otta]

Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #749377 писал(а):

Это, по факту, попытка объяснить что-то человеку на языке, который он уже знает.
Впрочем, тут уже столько объясняющих собралось, что им сначала между собой договориться надо, и всё равно будет "у семи нянек дитя без глаза".

Я давно не пытаюсь объяснять. Ибо вопрошающий, складывается впечатление, не слишком нуждается в объяснениях, раз большую часть из них игнорирует. Сколько повторов одного и того же было в этой теме? причем бесполезных? Я среагировала только на Ваше сообщение: не есть хорошо вводить в заблуждение человека на этапе введения определений. Он ведь потом так и будет понимать, и это уже труднее будет вылечить. Признаться, я думала, это у Вас обычный заскок, это было бы ничего страшного. С кем не бывает. Но Вы упорствуете в своей неправоте, вместо того, чтобы ее признать. Никому из присутствующих Ваше упорство не причинит никакого вреда, кроме одного человека: ради которого Вы все это пишете. Из лучших намерений, я не сомневаюсь. Можно было вообще никак не называть аффинные пространства, если нужно избежать этого слова. Но зачем называть их словом, которым называются другие пространства?

А аффинное хорошо иллюстрируется обычным $\mathbb{R}^2$, например, можно было просто на примере это разобрать. Да Вы же это и сделали, только, опять же назвав другим словом. Ну вот и скажите, если в Вашем тексте (во второй его части) слово "евклидово" заменить на "аффинное", то описываемый объект перестанет быть понятным?

Munin в сообщении #749377 писал(а):

Одна надежда, на longstreet

На розги одна надежда.

PS Множество многочленов, конечно, не поле.

[Oleg Zubelevich]

продолжаем ликбез

Определение. Системой координат аффинного пространства $E$ называется пара состоящая из какой-нибудь точки $O\in E$ и какого-нибудь базиса $\{e_i\}$ ассоциированного линейного пространства $L$.
Точка $O$ называется началом координат. Координатами точки $A\in E$ в системе координат $O\{ e_i\}$ называются координаты вектора $\overline{OA}$ в базисе $\{ e_i\}$.
Множество точек $\{B\in E\mid \overline{OB}=te_j,\quad t\in\mathbb{R}\}$ называется $j-$ой осью координат.

-- Пт июл 26, 2013 18:51:41 --

Определение. Отображение $\mathcal{A}:E\to E$ называется аффинным если существует линейный оператор $A:L\to L$ такой, что для любых точек $B,C\in E$ верно равенство $\overline{\mathcal{A}(B)\mathcal{A}(C)}=A(\overline{BC}).$

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Я давно не пытаюсь объяснять.

Тогда что вы делаете в разделе "Помогите решить / разобраться (М)"? Мешаете объяснять другим? Просто флудите, флеймите и троллите?

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Ибо вопрошающий, складывается впечатление, не слишком нуждается в объяснениях

Лажает ваше впечатление. Дети, впервые столкнувшиеся с чем-то сложным, ведут себя именно так, как данный вопрошающий. Кстати, довольно толковый и упорный, пытается разобраться, учебники читает. Разнобой объяснений ему только помешает.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Я среагировала только на Ваше сообщение: не есть хорошо вводить в заблуждение человека на этапе введения определений.

Нету здесь никакого "этапа введения определений". Мы не лекционный курс читаем. Мы помогаем при чтении других курсов. Определения человек должен почерпнуть из учебников (чего бы там Oleg Zubelevich ни воображал; его вклад вообще принципиально антиконструктивен, он специально ходит на форум для троллинга и "лулзов" [по его же словам!], а не для помощи людям). А мы можем только объяснить, какие определения и в каком порядке надо читать и знать, и что они "на пальцах" значат.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Он ведь потом так и будет понимать, и это уже труднее будет вылечить.

Он же читает учебники! Перестаньте воображать себя лектором, являющимся единственным источником, откуда слушатель черпает знания.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Можно было вообще никак не называть аффинные пространства, если нужно избежать этого слова. Но зачем называть их словом, которым называются другие пространства?

Человек в школьной геометрии уже знаком с обычными пространствами, которые знает под названиями евклидова плоскость и евклидово пространство. Может быть, представляет себе, как они обобщаются до евклидова пространства $n$ измерений. На это знание и на этот термин я и опираюсь. Да, реально векторное пространство без скалярного произведения действует не (только) на евклидовом пространстве, а на аффинном. Но что такое аффинное пространство - в школе не проходят. Дело не в том, что он слова такого не знает, а в том, что он понятия такого не знает. А если ему его давать, то всплывёт вопрос "а зачем?".

Кроме того, и понятие вектора человек из школьной геометрии знает, когда оно вводится так или иначе в евклидовой плоскости, в евклидовом пространстве, или в физическом пространстве (которое тоже евклидово). Если ему давать просто векторы и векторные пространства с нуля, то возникает вопрос, а как они связаны с теми векторами, с которыми он уже знаком. На этот вопрос надо ответить, и я на него отвечаю, опять же, упоминая те самые евклидовы пространства. Это, имхо, лучше, чем вводить сложную и (отчасти) ненужную и устаревшую классификацию векторов на "связанные, скользящие и свободные", как здесь уже попытались выше по теме. Почему-то там вы промолчали, а на меня набросились.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

А аффинное хорошо иллюстрируется обычным $\mathbb{R}^2$

Обычное $\mathbb{R}^2,$ как раз, не аффинное, а векторное.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

Ну вот и скажите, если в Вашем тексте (во второй его части) слово "евклидово" заменить на "аффинное", то описываемый объект перестанет быть понятным?

Разумеется, если человек слова "аффинное" не знает (и самого понятия, чем аффинные от евклидовых отличаются). Кроме того, информацию стоит давать последовательно, а не завалить всем сразу.

Otta в сообщении #749412 писал(а):

PS Множество многочленов, конечно, не поле.

А я этого и не говорил. Есть кольца многочленов, и не одно, а много разных. Есть поля многочленов - тоже много разных. Если взять самую очевидную конструкцию из множества всех многочленов, то получится кольцо, а не поле. Кольцо - это такое множество с операциями, которое похоже на множество целых чисел: целые числа образуют именно кольцо. Натуральные числа не образуют даже кольцо. (Всё это я произношу не для вас, вы это, очевидно, знаете, а поясняю свои слова для bigarcus.)