Неравенство

[Ward]

Здравствуйте!

Как доказать, что $\sin \pi x \geqslant 3x$ при $x\in [0,1/6]$?

[angor6]

Ward
Например, самым наглядным способом: графически.

[Ward]

Графически я уже доказал. Хотелось бы доказать это аналитически.

[VPro]

Докажите $\pi\cos\pi x\ge 3$ и проинтегрируйте.

[Whitaker]

Очевидно, что левая и правая части неравенства совпадают при $x=0$ и $x=\frac{1}{6}$. Но дело в том, что функция $\sin\pi x$ вогнутая на данном отрезке и все.

[angor6]

Ward
Тогда исследуйте функцию $f(x)=\sin\pi x-3x$.

-- 25.07.2013, 16:58 --

Whitaker

Whitaker в сообщении #749176 писал(а):

Очевидно, что левая и правая части неравенства совпадают при $x=0$ и $x=\frac{1}{6}$. Но дело в том, что функция $\sin\pi x$ вогнутая на данном отрезке и все.

Что значит "функция вогнутая"?

[zychnyy]

Функция $y=\sin \pi x$ имеет непрерывную производную и вторую производную $(\sin \pi x)''=-{\pi }^{2}\sin \pi x\le 0$ на $[0;\frac{1}{6}]$. Поэтому хорда, стягивающая дугу кривой $y=\sin \pi x$ на $[0;\frac{1}{6}]$, ниже синусоиды.
Осталось составить это уравнение(уравнение хорды) и сделать вывод.

[denisart]

zychnyy в сообщении #749192 писал(а):

Функция $y=\sin \pi x$ имеет непрерывную производную и вторую производную $(\sin \pi x)''=-{\pi }^{2}{\sin }^{2}\pi x\le 0$

(Оффтоп)

квадрат откуда?

[zychnyy]

(Оффтоп)

denisart спасибо. Поправил.

[ewert]

angor6 в сообщении #749177 писал(а):

Что значит "функция вогнутая"?

Неудачный термин для выпуклости вверх (под просто выпуклостью обычно понимают выпуклость вниз).

[angor6]

ewert
Я имел в виду, что выпуклость и вогнутость являются свойствами графика функции, а не её самой. Для функции нужно писать о знаке её второй производной.

[patzer2097]

angor6 в сообщении #749203 писал(а):

ewert
Я имел в виду, что выпуклость и вогнутость являются свойствами графика функции, а не её самой. Для функции нужно писать о знаке её второй производной.

и ее самой, и графика, всё правильно ewert же писал о том, что по его мнению, следует писать "выпуклая вверх функция" вместо "вогнутая функция"

[angor6]

patzer2097

patzer2097 в сообщении #749278 писал(а):

angor6 в сообщении #749203 писал(а):

ewert
Я имел в виду, что выпуклость и вогнутость являются свойствами графика функции, а не её самой. Для функции нужно писать о знаке её второй производной.

и ее самой, и графика, всё правильно ewert же писал о том, что по его мнению, следует писать "выпуклая вверх функция" вместо "вогнутая функция"

Что ж, но в те годы, когда мне довелось изучать математический анализ, говорили о выпуклости вверх или вниз графика функции, а не её самой. Правда, тогда ещё считалось, что существительное "кофе" относится к мужскому роду. Приношу всем свои извинения!

[denisart]

(Оффтоп)

И сейчас считают

[ewert]

(Оффтоп)

angor6 в сообщении #749281 писал(а):

Что ж, но в те годы, когда мне довелось изучать математический анализ, говорили о выпуклости вверх или вниз графика функции, а не её самой.

Это в школьной математике (и в вузовской 1-го семестра как продолжении школьной). А в выпуклом анализе под выпуклостью функции в целом принято понимать её выпуклость именно вниз, просто во избежание недоразумений. Whitaker явно был нацелен именно на второй подход, вот и изобрёл как бы альтернативный термин. На мой взгляд, неудачно; ну что уж тут теперь поделать.