2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли это доказать?
Сообщение10.08.2007, 13:07 


22/12/06
58
Мальчики, помогите разодраться с доказательством. У одного специалиста из КНР читаю: "из очевидного неравенства
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
следует ..."
мне оно очевидным вовсе не кажется, помогите плиз :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2007, 13:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Попробуйте перебрать всевозможные 4!=24 способа взаимного расположения точек на прямой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2007, 13:45 


22/12/06
58
Padawan писал(а):
Попробуйте перебрать всевозможные 4!=24 способа взаимного расположения точек на прямой.

Ну спасибо большое, хорошая шутка, я оценила

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли это доказать?
Сообщение10.08.2007, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Можно поменьше.
Очевидно, что $|\min\{a,b\}-\min\{c,d\}|$ равняется одному из 4-х значений: $|a-c|$, $|a-d|$, $|b-c|$, $|b-d|$. Для 1-го и 4-го случаев утверждение, очевидно, верно. Осталось рассмотреть 2-й и 3-й случаи. Например, во втором случае нужно показать, что условия $a < b$, $d < c$, $|a-d| > |a-c|$, $|a-d| > |b-d|$ противоречивы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли это доказать?
Сообщение10.08.2007, 14:40 


22/12/06
58
worm2 писал(а):
Например, во втором случае нужно показать, что условия $a < b$, $d < c$, $|a-d| > |a-c|$, $|a-d| > |b-d|$ противоречивы.

Вот что-то у меня это сделать не получается :( Рисую себе картиночки на прямой и ничего не выходит :( Помогите, ну пожалуйста помогите ;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2007, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Если a<b, d<c, то, говоря грубо (не рассматривая случаи равенства), всего 6 случаев остаётся:

d<c<a<b
d<a<c<b
d<a<b<c
a<d<c<b
a<d<b<c
a<b<d<c

(это 6 различных способов взаимного расположения отрезков [a,b] и [d,c]: либо первый полностью правее второго, либо полностью левее, либо пересекает справа, либо слева, либо лежит полностью внутри, либо полностью покрывает)

В каждом из этих случаев либо a лежит между b и d (а, значит, |a-d|<|b-d|), либо d лежит между a и c (а, значит, |a-d|<|a-c|).

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Возможно, талантливый математик, или с развитым геометрическим воображением, или тот, кто долго занимался похожими неравенствами, может сразу "увидеть" все эти случаи. Но мне неравенство тоже не кажется очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли это доказать?
Сообщение10.08.2007, 15:44 


22/12/06
58
то есть
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max\{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
верно для всех a,b,c,d?
ps я очень глупенькая :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2007, 16:16 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Понятие "очевидности" в математике, да и не только, несколько расплывчато. Вот цитата из замечательной книги Смаллиана "Как называется эта книга?":

В бытность мою аспирантом в Принстонском университете я вместе с товарищами составил довольно любопытный перечень толкований слова "очевидно" различными профессорами математического факультета. Не стану сейчас приводить полностью фамилии профессоров, ограничусь лишь первыми буквами.
Когда профессор A. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и поразмыслив в течение нескольких недель, вы поймете, почему оно правильно.
Когда профессор Л. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и посвятив размышлениям над смыслом. сказанного весь остаток своих дней, вы, может быть, когда-нибудь поймете, почему оно правильно.
Когда профессор Ч. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что уже две недели, как оно известно аудитории.
Когда профессор Ф. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что оно скорее всего неверно.


Что касатся нашего неравенства, оно конечно, верно, да и почти очевидно. Но, немного потрудится для того, чтобы это увидеть, конечно, придется. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли это доказать?
Сообщение10.08.2007, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
marishka82 писал(а):
то есть
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max\{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
верно для всех a,b,c,d?

Верно. Я ещё не рассмотрел случай a>b, c<d, а также случаи равенства (a=b и/или c=d). Рассмотрите их самостоятельно, потому что...
marishka82 писал(а):
ps я очень глупенькая :)

Вы просто нетерпеливая :) а тут нужно всего лишь терпение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.08.2007, 09:48 


22/12/06
58
Всем спасибо, особено worm2, чмоки-чмоки :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли это доказать?
Сообщение13.08.2007, 19:57 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
По-моему здесь достаточно рассмотреть 2 случая:
Без ограничения общности можем считать, что a-минимум из чисел a,b,c,d.
Теперь есть 2 варианта:
1^0 c \leq d
Тогда
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| =|a-c|\leq \max\{|a-c|,|b-d|\}
2^0 c>d
Тогда
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| =|a-d|=d-a<c-a\leq \max\{|a-c|,|b-d|\}

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group