Можно ли это доказать?

[marishka82]

Мальчики, помогите разодраться с доказательством. У одного специалиста из КНР читаю: "из очевидного неравенства
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
следует ..."
мне оно очевидным вовсе не кажется, помогите плиз

[Padawan]

Попробуйте перебрать всевозможные 4!=24 способа взаимного расположения точек на прямой.

[marishka82]

Padawan писал(а):

Попробуйте перебрать всевозможные 4!=24 способа взаимного расположения точек на прямой.

Ну спасибо большое, хорошая шутка, я оценила

[worm2]

Можно поменьше.
Очевидно, что $|\min\{a,b\}-\min\{c,d\}|$ равняется одному из 4-х значений: $|a-c|$, $|a-d|$, $|b-c|$, $|b-d|$. Для 1-го и 4-го случаев утверждение, очевидно, верно. Осталось рассмотреть 2-й и 3-й случаи. Например, во втором случае нужно показать, что условия $a < b$, $d < c$, $|a-d| > |a-c|$, $|a-d| > |b-d|$ противоречивы.

[marishka82]

worm2 писал(а):

Например, во втором случае нужно показать, что условия $a < b$, $d < c$, $|a-d| > |a-c|$, $|a-d| > |b-d|$ противоречивы.

Вот что-то у меня это сделать не получается Рисую себе картиночки на прямой и ничего не выходит Помогите, ну пожалуйста помогите

[worm2]

Если a<b, d<c, то, говоря грубо (не рассматривая случаи равенства), всего 6 случаев остаётся:

d<c<a<b
d<a<c<b
d<a<b<c
a<d<c<b
a<d<b<c
a<b<d<c

(это 6 различных способов взаимного расположения отрезков [a,b] и [d,c]: либо первый полностью правее второго, либо полностью левее, либо пересекает справа, либо слева, либо лежит полностью внутри, либо полностью покрывает)

В каждом из этих случаев либо a лежит между b и d (а, значит, |a-d|<|b-d|), либо d лежит между a и c (а, значит, |a-d|<|a-c|).

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Возможно, талантливый математик, или с развитым геометрическим воображением, или тот, кто долго занимался похожими неравенствами, может сразу "увидеть" все эти случаи. Но мне неравенство тоже не кажется очевидным.

[marishka82]

то есть
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max\{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
верно для всех a,b,c,d?
ps я очень глупенькая

[neo66]

Понятие "очевидности" в математике, да и не только, несколько расплывчато. Вот цитата из замечательной книги Смаллиана "Как называется эта книга?":

В бытность мою аспирантом в Принстонском университете я вместе с товарищами составил довольно любопытный перечень толкований слова "очевидно" различными профессорами математического факультета. Не стану сейчас приводить полностью фамилии профессоров, ограничусь лишь первыми буквами.
Когда профессор A. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и поразмыслив в течение нескольких недель, вы поймете, почему оно правильно.
Когда профессор Л. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и посвятив размышлениям над смыслом. сказанного весь остаток своих дней, вы, может быть, когда-нибудь поймете, почему оно правильно.
Когда профессор Ч. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что уже две недели, как оно известно аудитории.
Когда профессор Ф. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что оно скорее всего неверно.

Что касатся нашего неравенства, оно конечно, верно, да и почти очевидно. Но, немного потрудится для того, чтобы это увидеть, конечно, придется.

[worm2]

marishka82 писал(а):

то есть
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| \leq \max\{|a-c|,|b-d|\}, a,b,c,d \in \mathbb{R}
верно для всех a,b,c,d?

Верно. Я ещё не рассмотрел случай a>b, c<d, а также случаи равенства (a=b и/или c=d). Рассмотрите их самостоятельно, потому что...

marishka82 писал(а):

ps я очень глупенькая

Вы просто нетерпеливая а тут нужно всего лишь терпение.

[marishka82]

Всем спасибо, особено worm2, чмоки-чмоки

[Asalex]

По-моему здесь достаточно рассмотреть 2 случая:
Без ограничения общности можем считать, что a-минимум из чисел a,b,c,d.
Теперь есть 2 варианта:
1^0 c \leq d
Тогда
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| =|a-c|\leq \max\{|a-c|,|b-d|\}
2^0 c>d
Тогда
|\min\{a,b\} - \min\{c,d\}| =|a-d|=d-a<c-a\leq \max\{|a-c|,|b-d|\}