полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1

[dikiy]

собственно вопрос следующий. Известно, что полиномы Лежандра образуют базис в $L_2[-1,1]$. Так же известно, что пространство $W_2^1$ полное (пространство Соболева). Любой из полиномов Лежандра очевидно принадлежит пространству $W_2^1[-1,1]$. Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Как это сочетается с тем, что полиномы Лежандра образуют базис в $L_2$? Ведь $L_2$ больше, чем $W_2^1$.

[ewert]

dikiy в сообщении #748782 писал(а):

Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Какую конкретно последовательность и в каком смысле предел?

[sergei1961]

Если взять функцию из узкого пространства-ряд по Лежандрам сходится к ней по норме этого узкого пространства, взять из более широкого-сходится по норме более широкого. В чём противоречие?

Кстати указанное пространство Соболева тоже можно по-разному определять. Важно, фиксируются ли нулевые условия на концах, а также оно вводится как пространство функций с конечной нормой или как пополнение какого-то множества. Вы это не указываете, а тут есть ньюансы.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #748809 писал(а):

Если взять функцию из узкого пространства-ряд по Лежандрам сходится к ней по норме этого узкого пространства,

С какой стати - и, главное, какой конкретно ряд-то?.. Во всяком случае, в "узком пространстве" это никак не будет рядом Фурье.

sergei1961 в сообщении #748809 писал(а):

а также оно вводится как пространство функций с конечной нормой или как пополнение какого-то множества.

Это фактически одно и то же.

[sergei1961]

1. Узкое пространство также Гильбертово, широкое тоже. Там свой ряд Фурье, там свой, что одинаковые я не говорил.

2. Это не одно и то же, например в дифференциальных уравнениях. Если предъявлен кандидат на решение уравнения и есть для него априорная оценка, то если пространство определялось как множество с конечной нормой, то априорной оценки достаточно для доказательства существования решения в этом пространстве. Если пространство определялось как пополнение чего-то там, то недостаточно-нужно ещё доказывать что этот кандидат на решение может быть приближен в нужных нормах последовательностью исходных функций, которые пополнялись.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #748825 писал(а):

1. Узкое пространство также Гильбертово,

Но относительно другой метрики, знаете ли. Относительно которой лежандры не являются ортогональными, так что ряд будет уже вовсе не Фурье. Кроме того, они относительно новой нормы даже и не ограниченны, поэтому и на сходимость надеяться было бы как-то странно.

sergei1961 в сообщении #748825 писал(а):

Если пространство определялось как пополнение чего-то там, то недостаточно-нужно ещё доказывать что этот кандидат на решение может быть приближен в нужных нормах последовательностью исходных функций, которые пополнялись.

Ну если пространство заведомо полное, то какая разница. Того же Соболева можно формально определять просто как результат пополнения, а можно конструктивно. И поскольку известно, что второе есть модель первого, то что в лоб, что по лбу.

[Oleg Zubelevich]

функции $e^{ikx}$ образуют ортогональный базис в любом $H^s(\mathbb{T}^1),\quad s\in\mathbb{R}$, и что в этом удивительного?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #748835 писал(а):

функции $e^{ikx}$ образуют ортогональный базис в любом $H^s(\mathbb{T}^1),\quad s\in\mathbb{R}$, и что в этом удивительного?

Видимо, то, что многочлены Лежандра не суть собственные функции оператора дифференцирования. Воистину странно.

[dikiy]

ewert в сообщении #748802 писал(а):

dikiy в сообщении #748782 писал(а):

Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Какую конкретно последовательность и в каком смысле предел?

бесконечную последовательность. Предел в хотя бы каком-нибудь смысле. Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

[ewert]

dikiy в сообщении #748886 писал(а):

Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

В смысле сходимости по норме в $W_2^1$ последовательность этих многочленов расходится по норме в $W_2^1$. Т.к. их нормы стремятся к бесконечности.

[dikiy]

ewert в сообщении #748940 писал(а):

dikiy в сообщении #748886 писал(а):

Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

В смысле сходимости по норме в $W_2^1$ последовательность этих многочленов расходится по норме в $W_2^1$. Т.к. их нормы стремятся к бесконечности.

а действительно, чтобы получить, допустим, функцию с разрывом, то есть которая в $L_2$ и не в $W_2^1$ последовательность полиномов будет расходиться по норме $W_2^1$, так как их производные будут уходить в бесконечность. Я как-то не подумал об этом.

Спасибо!

[sergei1961]

Теоретически понятно.
А можно явно предъявить функцию из указанного пространства Соболева на отрезке, для которой её ряд Фурье по пол. Лежандра явно считается и расходится в норме Соболева? Функция ещё вроде абсолютно непрерывной должна быть, наверное, не так просто? Или про такой пример где-то прочитать?