2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 01:56 
собственно вопрос следующий. Известно, что полиномы Лежандра образуют базис в $L_2[-1,1]$. Так же известно, что пространство $W_2^1$ полное (пространство Соболева). Любой из полиномов Лежандра очевидно принадлежит пространству $W_2^1[-1,1]$. Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Как это сочетается с тем, что полиномы Лежандра образуют базис в $L_2$? Ведь $L_2$ больше, чем $W_2^1$.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 09:33 
dikiy в сообщении #748782 писал(а):
Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Какую конкретно последовательность и в каком смысле предел?

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 11:01 
Если взять функцию из узкого пространства-ряд по Лежандрам сходится к ней по норме этого узкого пространства, взять из более широкого-сходится по норме более широкого. В чём противоречие?

Кстати указанное пространство Соболева тоже можно по-разному определять. Важно, фиксируются ли нулевые условия на концах, а также оно вводится как пространство функций с конечной нормой или как пополнение какого-то множества. Вы это не указываете, а тут есть ньюансы.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 11:38 
sergei1961 в сообщении #748809 писал(а):
Если взять функцию из узкого пространства-ряд по Лежандрам сходится к ней по норме этого узкого пространства,

С какой стати - и, главное, какой конкретно ряд-то?.. Во всяком случае, в "узком пространстве" это никак не будет рядом Фурье.

sergei1961 в сообщении #748809 писал(а):
а также оно вводится как пространство функций с конечной нормой или как пополнение какого-то множества.

Это фактически одно и то же.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 12:03 
1. Узкое пространство также Гильбертово, широкое тоже. Там свой ряд Фурье, там свой, что одинаковые я не говорил.

2. Это не одно и то же, например в дифференциальных уравнениях. Если предъявлен кандидат на решение уравнения и есть для него априорная оценка, то если пространство определялось как множество с конечной нормой, то априорной оценки достаточно для доказательства существования решения в этом пространстве. Если пространство определялось как пополнение чего-то там, то недостаточно-нужно ещё доказывать что этот кандидат на решение может быть приближен в нужных нормах последовательностью исходных функций, которые пополнялись.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 12:19 
sergei1961 в сообщении #748825 писал(а):
1. Узкое пространство также Гильбертово,

Но относительно другой метрики, знаете ли. Относительно которой лежандры не являются ортогональными, так что ряд будет уже вовсе не Фурье. Кроме того, они относительно новой нормы даже и не ограниченны, поэтому и на сходимость надеяться было бы как-то странно.

sergei1961 в сообщении #748825 писал(а):
Если пространство определялось как пополнение чего-то там, то недостаточно-нужно ещё доказывать что этот кандидат на решение может быть приближен в нужных нормах последовательностью исходных функций, которые пополнялись.

Ну если пространство заведомо полное, то какая разница. Того же Соболева можно формально определять просто как результат пополнения, а можно конструктивно. И поскольку известно, что второе есть модель первого, то что в лоб, что по лбу.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 12:51 
функции $e^{ikx}$ образуют ортогональный базис в любом $H^s(\mathbb{T}^1),\quad s\in\mathbb{R}$, и что в этом удивительного?

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 13:14 
Oleg Zubelevich в сообщении #748835 писал(а):
функции $e^{ikx}$ образуют ортогональный базис в любом $H^s(\mathbb{T}^1),\quad s\in\mathbb{R}$, и что в этом удивительного?

Видимо, то, что многочлены Лежандра не суть собственные функции оператора дифференцирования. Воистину странно.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 16:05 
ewert в сообщении #748802 писал(а):
dikiy в сообщении #748782 писал(а):
Взяв последовательность полиномов Лежандра получим, что ее предел будет принадлежать пространству $W_2^1$ ввиду его полноты.

Какую конкретно последовательность и в каком смысле предел?


бесконечную последовательность. Предел в хотя бы каком-нибудь смысле. Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 19:45 
dikiy в сообщении #748886 писал(а):
Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

В смысле сходимости по норме в $W_2^1$ последовательность этих многочленов расходится по норме в $W_2^1$. Т.к. их нормы стремятся к бесконечности.

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение24.07.2013, 23:23 
ewert в сообщении #748940 писал(а):
dikiy в сообщении #748886 писал(а):
Например в смысле сходимости по норме в $W_2^1.$

В смысле сходимости по норме в $W_2^1$ последовательность этих многочленов расходится по норме в $W_2^1$. Т.к. их нормы стремятся к бесконечности.


а действительно, чтобы получить, допустим, функцию с разрывом, то есть которая в $L_2$ и не в $W_2^1$ последовательность полиномов будет расходиться по норме $W_2^1$, так как их производные будут уходить в бесконечность. Я как-то не подумал об этом.

Спасибо!

 
 
 
 Re: полиномы Лежандра в качестве базиса в W_2^1
Сообщение02.08.2013, 07:25 
Теоретически понятно.
А можно явно предъявить функцию из указанного пространства Соболева на отрезке, для которой её ряд Фурье по пол. Лежандра явно считается и расходится в норме Соболева? Функция ещё вроде абсолютно непрерывной должна быть, наверное, не так просто? Или про такой пример где-то прочитать?

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group