Доказать неравенство

[megamix62]

Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot \ln(\ln(n))$

[cool.phenon]

Рассмотреть функцию

$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$

и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.

[sergei1961]

Мелочь, но нужно добавить: $n\ge 3$.

[megamix62]

cool.phenon в сообщении #748638 писал(а):

Рассмотреть функцию

$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$

и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.

$$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

и далее

[Sonic86]

Далее нужно доказывать, что функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$ при $x>x_0$.

[megamix62]

megamix62 в сообщении #748636 писал(а):

Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot \ln(\ln(n))$

Что-то не врублюсь...мне надо доказать

$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot \ln(\ln(n))$

[Otta]

Что равносильно $f(n+1)<f(n)$.

[iifat]

Sonic86 в сообщении #748700 писал(а):

$f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$

$f'(x)<0$

[sergei1961]

Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно. Максимум функции $y(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта:

$$ x_{max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312, $$

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство верно, причём только начиная с $n\ge6$!

[Otta]

sergei1961 в сообщении #748799 писал(а):

Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно.

Если бы она не была целочисленной, то с Вами можно было бы согласиться. А так: ясно, что начиная с некоторой точки производная становится отрицательной, причем навсегда, а что это за точка (в целых числах), легко установить перебором.

[megamix62]

Спасибо Вам Всем !